El problema del rectángulo

Contenidos

La validación en geometría.

Propósitos

Se trata de una situación que tiene por objetivo discutir o poner en duda la medición como recurso para comparar dos áreas y, en general, como método para tomar decisiones y/o validar proposiciones en Geometría. La situación ha sido elegida teniendo en cuenta que el trabajo sobre la validación en Matemática tiene un rol fundamental en este ciclo: interesa que el alumno aprenda a desarrollar argumentaciones basadas en propiedades conocidas de las figuras, de tal manera de establecer el carácter necesario de los resultados de forma independiente de la experimentación.

Desarrollo

Enunciado

Dado el rectángulo ABCD con AB=10 cm y BC = 6 cm:

• trazar la diagonal AC y marcar sobre ella un punto P a 9 cm de A;
• trazar una paralela al lado AD que pase por P; llamar I al punto en que corta a AB y J al punto en que corta a DC;
• también por P trazar una paralela al lado AB, y llamar K al punto en que corta a AD y L al punto en que corta a BC.

¿Cuál de los dos rectángulos IBLP o KPJD tiene área mayor?

Organización de la clase

Parte 1

Los alumnos trabajan en forma individual sobre el enunciado citado.

Parte 2

Cuando todos los alumnos tienen una respuesta, el profesor propone que se reúnan en grupos de cuatro y discutan el problema para arribar en conjunto a una solución. Por otro lado, y teniendo en cuenta que deberán exponer y defender ante los otros grupos su respuesta, tendrán que elaborar una justificación del trabajo realizado.

Parte 3

Un representante de cada grupo expone en el pizarrón los resultados y se organiza un debate sobre ellos.

Parte 4

Se realiza un balance final mediante el cual los alumnos identificarán aquello que se pretende que aprendan a través de la actividad.

Comentarios

¿Por qué se eligen esta formulación del problema y esta organización de la clase?

Como se espera que la mayoría de los alumnos resuelva el problema a través de la medición de los lados de cada rectángulo y del cálculo de las áreas, se han hecho algunas elecciones intencionales de tal forma que los resultados obtenidos por cada alumno fueran divergentes. Esto provocaría, en primer lugar, contradicciones dentro de cada uno de los grupos y luego entre los diferentes grupos que conforman la clase. Las medidas elegidas para los lados del rectángulo ABCD son tales que los lados de los rectángulos cuyas áreas se deben comparar resultan números irracionales. Esto conduce a una mayor imprecisión en las mediciones efectuadas por los alumnos.

Por otro lado, si bien hubiera sido posible proponer un enunciado sin medidas, se ha querido evitarlo porque se ha supuesto que la diversidad de dibujos que hubieran surgido en estas condiciones no permitiría evidenciar una contradicción, ya que los alumnos podrían atribuir la diferencia entre los resultados obtenidos al hecho de haber dibujado rectángulos diferentes.

La organización de la clase adquiere asimismo un lugar esencial para el establecimiento de condiciones que permitan aproximarse al objetivo deseado. Un primer conflicto debe aparecer en cada grupo, con relación a la confrontación de respuestas diferentes, ya que interesa empezar a cuestionar la "exactitud de la medida" e ir modificando esta concepción de los alumnos por la idea de que toda medición es aproximada. Por esta razón, se ha pensado una instancia de trabajo individual para que cada uno llegue al grupo con una respuesta al problema.

Hasta este momento del desarrollo de la actividad, el docente no se posiciona ni a favor ni en contra de las decisiones individuales o grupales. Por supuesto que está activo y participa de todas las cuestiones que no comprometan el desarrollo del debate posterior. Es decir, si algún grupo llega a la instancia del debate con la confirmación del docente de que su resultado es correcto, tal debate no cumplirá la función para la cual fue previsto.

Sugerencias didácticas

La entrada en el mundo de la demostración o de las validaciones intelectuales resulta compleja. Es posible acercarse a ella, fundamentalmente en el Tercer Ciclo, sin necesidad de explicitar un sistema axiomático. De hecho, muchos alumnos realizan deducciones para justificar algunas de sus producciones sin necesariamente estar pensando en qué sistema axiomático se encuadran las mismas.

En el ámbito de la matemática, la exploración es una parte de un proceso que se continúa en una fundamentación intelectual (prueba o demostración) que se independiza de la experimentación.

Existen muchas discusiones en el ámbito de la didáctica de la matemática en relación con la problemática de la demostración.

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