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Monedas y probabilidades

Modelización de situaciones problemáticas a través de materiales, tablas, dibujos, fórmulas, etc. (eje 3). Análisis de la equiprobabilidad de resultados. La siguiente actividad apunta a profundizar tales análisis en una situación que comúnmente remite a una anticipación errónea de la equiprobabilidad de los sucesos.

Contenidos

Dos monedas dibujadas con trazos irregulares en blanco y negro, lado a lado.

Modelización de situaciones problemáticas a través de materiales, tablas, dibujos, fórmulas, etc. (eje 3). Análisis de la equiprobabilidad de resultados

Propósitos

El cálculo de probabilidades mediante la fórmula de Laplace¹ requiere de un análisis minucioso del número de casos posibles y de la equiprobabilidad de estos últimos. En este sentido, la siguiente actividad apunta a profundizar tales análisis en una situación que comúnmente remite a una anticipación errónea de la equiprobabilidad de los sucesos. Para ello se propone confrontar los resultados obtenidos mediante la utilización de la mencionada fórmula (enfoque clásico) con resultados obtenidos a partir de experimentaciones reales o simuladas (enfoque frecuencial), o bien reconsiderar las respuestas mediante el uso de representaciones adecuadas.

Desarrollo

En un curso se plantean los siguientes problemas.

A un grupo de estudiantes se les pidió que calcularan, al arrojar simultáneamente dos monedas iguales de $ 1, la probabilidad de obtener una cara y una ceca. Uno de ellos hizo el siguiente análisis:

Los posibles resultados son:

ambas cara

ambas ceca

una cara y una ceca

La probabilidad buscada es 1/3.

Al otro grupo, se le pidió que calcule, al arrojar simultáneamente 2 monedas distintas (una de 50 centavos y una de $1), la probabilidad de obtener una cara y una ceca. Un estudiante propuso lo siguiente:

Los posibles resultados son:

ambas cara

ambas ceca

cara de la de $1 y ceca de la de 50 centavos

ceca de la de $1 y cara de la de 50 centavos

La probabilidad buscada es 1/4 + 1/4 = 1/2.

¿Cuál de los razonamientos de los estudiantes es correcto?

Es posible que muchos de ellos respondan que en ambos casos los razonamientos son correctos.

Si es así, resulta conveniente sugerir que analicen sus respuestas a la luz de resultados experimentales. Para eso la clase puede organizarse, entonces, separando a los estudiantes en grupos, y solicitando a la mitad de los grupos que obtengan 100 resultados experimentales trabajando con dos monedas iguales (por ejemplo de $1) y a la otra mitad que obtengan otros 100 resultados con dos monedas distintas (por ejemplo, una de $1 y otra de 50 centavos) y que anoten los resultados obtenidos en una hoja, sin colocar su nombre.

A fin de facilitar la tarea, pueden formarse grupos de modo tal que cada uno de ellos pueda obtener 25 resultados. Asimismo puede proponerse trabajar con una cajita de telgopor con tapa en la que se colocan 20 monedas, se tapa, se agita, se vuelca sobre la mesa y se anotan los resultados. De este modo, un solo experimento permite registrar diez resultados. En este caso, a fin de evitar posibles confusiones, es necesario resaltar que se trata de la experiencia "arrojar dos monedas".

Posteriormente es aconsejable anotar los resultados en el pizarrón y preguntar a los estudiantes si a partir de las tablas de resultados experimentales es posible distinguir los grupos que usaron monedas de igual valor de los que usaron monedas de distinto valor.

También podría simularse la experiencia mediante el uso de tablas de números al azar.

Una instancia posterior de debate posibilitará discutir por qué no es posible identificar la experiencia a partir de los resultados y detenerse en los razonamientos analizados al comienzo, identificando así que el error del primer estudiante proviene de una incorrecta determinación del número de casos igualmente posibles (en ambos casos los resultados son cuatro: cara-cara; cara-ceca; ceca-cara y ceca-ceca) que requiere la utilización de la fórmula laplaciana.

Resulta entonces importante destacar que el secreto de un buen análisis reside en considerar que aunque las monedas tengan igual valor se trata de objetos distintos.

Otra opción para trabajar las respuestas incorrectas de los estudiantes es sugerir la construcción o el completamiento de tablas o diagramas que permitan recoger los distintos resultados posibles.

¹. Recordemos que Pierre-Simon Laplace define la probabilidad de un suceso como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, siempre que estos sean igualmente posibles.

Sugerencias didácticas

Al diseñar las estrategias de enseñanza del tema probabilidades suele optarse por uno de los enfoques más frecuentes: el enfoque clásico (también llamado de Laplace). Este enfoque facilita la formalización de los conceptos probabilísticos y es complementario de otro enfoque, el frecuencial, que evidencia más fácilmente las relaciones que se establecen entre probabilidad y estadística, y que es muy adecuado para abordar algunos problemas que no pueden resolverse fácilmente aplicando la fórmula de Laplace.

Desde este enfoque se define la probabilidad de un suceso como el límite al que tienden las frecuencias relativas de su aparición. Esto implica que para el cálculo de la probabilidad de un suceso debe disponerse del registro de los resultados de un número considerable de repeticiones del experimento. La enseñanza de la probabilidad con este enfoque requiere muchas veces el uso del material concreto y la realización de un alto número de experiencias, así como el registro de las observaciones, hasta encontrar la estabilización de las frecuencias relativas. La dificultad para trabajar con problemas en el aula bajo este enfoque hace que en muchas ocasiones se lo descarte de antemano.