¿El conocimiento matemático es tan importante al punto de convertirse en la clave de una resolución feliz para una historia de amor? ¿Tiene futuro una relación amorosa que comienza sobre una cinta de Moebius? La topología, además de ser la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas, ¿es la más sentimental? ¿Son compatibles la matemática y las emociones?

Podríamos hacer unas cuantas preguntas más, pero estas parecen ser lo suficientemente interesantes como para empezar. En pleno siglo XXI, en el que se hacen estudios para prácticamente cualquier cosa, quedamos subyugados por la idea de qué difícil, importante y necesario es saber hacer buenas preguntas.

No nos interesa profundizar en fórmulas, ecuaciones ni abstracciones que nos provoquen dolores de cabeza, simplemente queremos hacer preguntas que generen desafíos diferentes y que intencionalmente no nos conduzcan a respuestas, sino a nuevos interrogantes derivados, cadenas de preguntas, redes y múltiples planteos con diversos itinerarios por recorrer.

¿Una historia de amor topológica?

Möbius strip (en inglés, 'Cinta de Moebius') es un cortometraje de animación de Link Pak Shing y Wan Ting Tifa, protagonizado por unos bellísimos personajes.

Luego de ver el corto, se nos agolpa una cascada de preguntas, preguntas que podemos ensayar aquí y responder en clase junto con los estudiantes:

  • La cinta sobre la que están los personajes de la historia ¿dónde se encuentra?
  • ¿Por qué decimos «cinta»? ¿Se trata realmente de una cinta?
  • Por un momento, creamos fervientemente en el escenario del cortometraje y preguntémonos: si esta cinta permaneciera inalterada como en el inicio de la historia, ¿nuestros personajes se conocerían?
  • ¿Podríamos decir que el primer corte de tijera lo hace Cupido? ¿Por qué pensamos en Cupido? ¿Qué produce el primer corte? ¿Qué tiene de importante?
  • ¿Qué posibilidades se abren luego del primer corte de tijera y del empalme invertido de la cinta?
  • Si bien el amor no tiene explicación —y eso lo hace tan misterioso y único—, ¿por qué uno de los personajes decide cruzar la línea punteada?
  • ¿Cambia el escenario de la historia luego del segundo corte de tijera? ¿Los personajes han entendido qué sucedió? Y nosotros ¿qué pensamos que sucedió?
  • En este punto, ¿cuánto puede hacer cada personaje por alterar el rumbo de la historia? ¿Alguno de los dos tiene ventaja sobre el otro? ¿Por qué?
  • ¿Habría un final feliz para quienes saben matemática? ¿Habría un final triste para quienes no saben matemática?
  • ¿Qué creen los personajes al final de la historia?
  • Para nosotros, como espectadores, ¿la historia entre ellos terminó o podemos pensar que existe la posibilidad de un reencuentro? ¿Qué tendría que suceder, de ser posible, para que ese reencuentro ocurriera? ¿Esta posibilidad depende de los dos personajes o de uno de ellos?
  • ¿Qué medida tiene el amor? ¿Tiene sentido esta pregunta?

Banda de Moebius
La cinta de Moebius según el ilustrador polaco Adam Pekalski

http://www.adampekalski.com/ksiazki12.htm



Más allá del ejercicio de formular todas las preguntas que podamos imaginar, es interesante indagar en los conceptos de topología, cinta de Moebius y teoría de nudos. 

Topología: la geometría de la posición

La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En contraste con el álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiempos antiguos, la topología aparece recién a finales del siglo XIX y principios del XX, con el nombre de analysis situs, es decir, 'análisis de la posición'.

De manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas.

El topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en las distancias o los ángulos, ni siquiera en la alineación de los puntos. Para el topólogo, un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos «topológicamente equivalentes» porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible.

Algunos de los desafíos que estudia la topología

Cinta de Moebius dibujada por Escher
Cinta de Moebius dibujada por Escher


Tomen una cinta de papel y únanla por sus extremos para formar un anillo; eso sí, antes de pegarla giren uno de los extremos. La cinta resultante será la famosa cinta de Moebius: aunque no ha dejado de ser un objeto material y simple, posee una sola cara, cosa demostrable por el simple método de trazar sobre ella una línea, recorriendo toda la longitud del papel sin levantar el lápiz ni una sola vez: la línea concluirá donde empezó, mordiéndose la cola como la serpiente mitológica.

Si ahora uno apela a una tijera y corta la cinta siguiendo el trazo, no se obtendrán, como cualquiera esperaría, dos anillos de papel: será solamente uno. Otra rareza. Si se repite la operación, el resultado serán dos aros de cinta encadenados.

La cinta de Moebius es uno de los «juguetes» más amados de la topología. Inspiró los dibujos del holandés M. C. Escher y fue, entre otras cosas, el punto de partida para notables relatos fantásticos de Franz Kafka, Jorge Luis Borges y Adolfo Bioy Casares.

Moebius y el cine

La cinta también inspiró al norteamericano A. J. Deutsch a la hora de escribir «Un túnel llamado Moebius», relato publicado en 1950, cuando la topología hacía furor en el mundo de la ciencia ficción. La idea del cuento, magnífica por cierto, atrajo a Gustavo Mosquera R., uno de los pocos realizadores de cine en la Argentina que se animó a incursionar en el género.

Mosquera, docente de la Fundación Universidad del Cine, planificó un largometraje colectivo sobre el tema, es decir, gestado en su totalidad por un plantel de casi medio centenar de estudiantes, que se pusieron bajo su dirección general durante el año y medio que tardó en salir de los laboratorios. Según los espectadores que lo vieron y opinaron en el Festival de Cine de San Sebastián, en el film Moebius la metáfora es contundente: un vagón de tren con más de treinta pasajeros desaparece en el circuito cerrado de los subterráneos porteños. La tarea de búsqueda queda a cargo de un matemático especializado en topología, que no consigue dar con el viejo diseñador de la tranway hasta que, con la ayuda de una niña, logra entrar en carrera hacia la revelación final. El topólogo deduce que, a consecuencia de los múltiples cruces de vías, estas han creado una especie de cinta que interconecta con otra dimensión espacio-temporal.

La teoría de nudos y sus sorprendentes aplicaciones en biología molecular, física y química

Para todo el mundo antes de Euler, parecía imposible pensar en propiedades geométricas sin que la medida estuviera involucrada. Además de la cinta de Moebius, otro gran tema que estudia la topología es la teoría de nudos.

Nudos
Teoría de nudos



La técnica de tejido, que precisa cruces y anudados de hilos, se conocía desde el neolítico. Aun en épocas anteriores, existían ya métodos que permitían unir una lámina de piedra a su mango (hacha), con tripas, nervios de animales o fibras vegetales. Lamentablemente, la descomposición de todas estas ligaduras orgánicas no permitió nunca conocer con precisión la edad de los primeros nudos.

En la época actual, los marinos se han apropiado de esta técnica, esencial para su trabajo. En 1944, el pintor C. W. Ashley (1881-1947) describió y dibujó en The Ashley Book of Knots (en inglés, El libro de los nudos de Ashley) exactamente 3.854 nudos. 

Para el topólogo, un nudo es una curva continua, cerrada y sin puntos dobles. Esta curva está situada en un espacio de tres dimensiones y se admite que pueda ser deformada, estirada, comprimida, aunque está «prohibido» hacerle cortes. Cuando se puede, a través de diversas manipulaciones, se pasa de un nudo a otro y se dice que son equivalentes.

En general, es muy difícil decidir cuándo dos nudos son equivalentes y gran parte de la teoría de nudos está precisamente dedicada a intentar resolver esta cuestión.

Los nudos están catalogados teniendo en cuenta su complejidad. Una medida de la complejidad es el número de «cruce», es decir, el número de puntos dobles en la proyección plana más simple del nudo. El nudo trivial tiene número de cruce cero. El trébol y la figura de ocho son los únicos nudos con número de cruce tres y cuatro, respectivamente.

Nudos
Nudos trébol y ocho

Hay dos nudos con número de cruce cinco, tres con seis y siete con número de cruce siete. Pero el número crece radicalmente: hay 12.965 nudos con trece o menos cruces en una proyección minimal, y 1.701.935 con dieciséis o menos cruces.

Los nudos se pueden sumar, restar, multiplicar e incluso dividir. ¡Existe el álgebra de los nudos! Pero cuando los nudos se complican, su simple descripción no basta para distinguirlos. Así, partiendo de su forma (la geometría del nudo), se han desarrollado fórmulas que funcionan para todos los nudos.

Nudos
Teoría de nudos

Aplicaciones en biología molecular

Los nudos están presentes en ámbitos tan dispares como la decoración, la industria textil, la magia, el alpinismo o la cirugía. Su estudio matemático permite en la actualidad ver su relación con la física, la química o la biología molecular.

El ADN, el material genético más importante en la mayoría de los organismos, se ve habitualmente como una doble hélice, en la que dos cadenas de nucleótidos complementarios se enrollan a lo largo de un eje común. El eje de esta hélice doble no es lineal, sino curvo.

La doble hélice puede moverse en el espacio para formar una nueva hélice de orden mayor; en este caso, se habla de ADN sobreenrollado. Parece que una gran parte de los ADN conocidos se muestra de esta manera sobreenrollada en algún momento del ciclo de su vida.

El ADN circular sobreenrollado es una doble hélice de moléculas, donde cada cadena de polinucleótidos forma un anillo. Cada propiedad física, química y biológica del ADN (comportamiento hidrodinámico, energético, etc.) es afectado por la circularidad y las deformaciones asociadas al sobreenrollamiento.

ADN
Doble hélice de ADN


La comprensión del mecanismo del sobreenrollamiento y las consecuencias de estas características estructurales para el ADN son un problema matemático bastante complejo, que hace intervenir dos ramas de la matemática: la topología y la geometría diferencial.

Para estudiar matemáticamente el sobreenrollamiento, hay que construir un modelo en el que la estructura se represente como un estrecho lazo torcido de espesor infinitesimal. Por ello, es necesario describir los nudos y encontrar características esenciales que permitan distinguirlos —en otras palabras— clasificarlos sin riesgo de confusión.

Enrollamiento de ADN
Enrollamiento de ADN


Estas características, que deben permanecer inalterables a lo largo de la deformación del nudo, se llaman invariantes del nudo. En el estudio de la replicación del ADN celular, se encuentran sacos de nudos. El ADN está más o menos enrollado sobre sí mismo y, en el momento de la replicación, se forman nudos que están controlados por proteínas que se llaman topoisomerasas. Conociendo mejor estas proteínas y su interacción con el ADN, se abren nuevas perspectivas en la lucha contra las enfermedades genéticas, el cáncer, los virus y las bacterias.

Otras aplicaciones en ciencia

Estudios recientes de las ecuaciones que determinan flujos (como el de la atmósfera alrededor de nuestro planeta) muestran cómo las partículas pueden moverse en complicados itinerarios de nudos.

Combinando la teoría de nudos con la teoría física de cuerdas, se ha podido dar una descripción unificada de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: gravedad, electromagnetismo, interacciones fuertes e interacciones débiles entre partículas.

Los químicos crean en el laboratorio moléculas anudadas, cuyas propiedades les permiten modificar su forma o desplazarse en función de factores eléctricos, químicos o luminosos, decididos por la persona que dirige la experiencia.

Aplicaciones de nudos en química
Aplicaciones de nudos en química


Estas nuevas moléculas se parecen en algunas ocasiones a aquellas que, en la naturaleza, estuvieron en el origen de la vida. Otras permiten imaginar memorias para futuros ordenadores moleculares y ya no electrónicos.

Comenzamos hablando del amor y terminamos enmarañados con nudos… la matemática nunca deja de sorprendernos.