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Funciones compuestas: el caso del trueque

Modelización de situaciones problemáticas mediante funciones. Propósitos y fundamentación. La actividad ha sido seleccionada con el propósito de destacar la potencialidad de las funciones como herramientas de modelización de situaciones externas a la matemática

Patos, palomas y gallinas — Ilustración: **Mariano Grynberg**

Contenidos

Modelización de situaciones problemáticas mediante funciones.
Propósitos y fundamentación.

Propósitos y fundamentación

La siguiente actividad¹ ha sido seleccionada con el propósito de destacar la potencialidad de las funciones como herramientas de modelización de situaciones externas a la matemática.

En este caso se ha elegido trabajar una situación de proporcionalidad que requiere ser modelizada mediante una función compuesta. Tanto el contexto como los valores numéricos seleccionados permiten resaltar la necesidad de la delimitación del dominio de la función en una situación en el que el mismo cobra sentido para los alumnos.

Desarrollo

En una comunidad indígena, donde no se utiliza dinero para comprar, se establecen las siguientes equivalencias para realizar trueques:

Por 5 gallinas, recibirán 6 palomas.

Por 4 palomas, recibirán 5 patos.

Una persona quiere cambiar gallinas por patos. ¿Podrías encontrar la relación que determine, de modo general, la equivalencia entre gallinas y patos?

¿Podrías determinar en esta situación una función matemática? Justificá tu respuesta.

En este caso resulta conveniente un primer momento de trabajo individual a fin de que cada alumno intente arribar a una solución. Durante dicho trabajo es posible que para responder al punto a, surjan distintas estrategias de resolución.

Así, algunos alumnos pueden privilegiar el uso de la "regla de tres", apoyándose seguramente en los tratamientos clásicos de las situaciones de proporcionalidad, y proponer respuestas tales como "por cada dos gallinas recibirán 3 patos".

Asimismo es posible que otros alumnos utilicen estrategias de puesta en ecuación:
5g = 6p _l ; 4p _l = 5p _t y en algunos casos relacionen g y p _t obteniendo 2g = 3_p t .
Es importante destacar que en ambos casos, el tipo de trabajo no implica un pensamiento funcional, sino proporcional.

Frente a lo solicitado en b, puede suceder que algunos alumnos propongan fórmulas no adecuadas, como por ejemplo p _t = 2/3g, sin tener en cuenta que esta fórmula no expresa el número de patos en función del número de gallinas sino cuántas gallinas equivalen a un pato. A fin de que los alumnos se den cuenta de que el error proviene de una confusión entre variable independiente y variable dependiente, puede sugerirse utilizar esa fórmula para responder a la pregunta: "Si tengo 10 gallinas para hacer el trueque, ¿cuántos patos me corresponderán?", y solicitar que se controle el resultado volviendo a la equivalencia inicial.

También es posible que otros alumnos sugieran la fórmula correcta: p _t = 3/2g, (o bien, f(x) = 3/2 x, siendo x el número de gallinas y f ( x ) el número de patos en función del número de gallinas). Sin embargo, si no se delimita el dominio de validez de estas últimas, resultan insuficiente en el con-texto del problema.

En esta instancia resulta adecuado organizar un debate y proponer preguntas tales como: "Si sólo se dispone de dos gallinas: ¿es posible efectuar el trueque? ¿Y en caso que haya sólo 5 palomas?", entre otras, lo que permite trabajar la determinación de dominios de funciones compuestas.

Sugerencias

La actividad anterior puede completarse con problemas como los que proponemos a continuación. El primero de ellos posibilita trabajar la noción de inversa de una función compuesta y su relación con las inversas de las funciones componentes (f₂ o f₁ )^-1 = f₁^-1 o f₂^-1.

Si ahora el trueque se establece de la siguiente manera:

Por 5 patos, recibirán 4 palomas.

Por 6 palomas, recibirán 5 gallinas.

¿Qué función establece la correspondencia entre patos y gallinas?

Comparala con la que determinaste en el problema 1. ¿Qué podés decir?

En el siguiente caso se trata de un problema abierto cuya resolución permite a los alumnos reinvertir la noción de dominio de funciones compuestas.

Modificá las cantidades de animales en el primer problema de modo tal que la función que establece la correspondencia entre gallinas y palomas tenga como dominio el conjunto de números naturales pero que el dominio de la que asigna gallinas a patos no sea este conjunto.

1. El primer problema, como así también algunos aspectos de su análisis, han sido extraídos de Higueras, L. La noción de función. Análisis epistemológico y didáctico. Universidad de Jaén, España, 1998.