Un recurso para contar

Contenidos

La organización de la información y la búsqueda de modelos para resolver situaciones de combinatoria.

Propósitos y fundamentación

Son conocidas las dificultades que surgen en el aula en relación a los problemas de combinatoria.

Si bien no resulta complicado para los alumnos la distinción entre problemas que requieran o no la consideración del orden en un conjunto de elementos, sí es complejo su tratamiento desde el punto de vista del cálculo. El recorrido habitual es proponer primero la resolución de problemas en los que el orden es importante (variaciones) para luego avanzar hacia aquellos en los que el orden no interesa (combinaciones).

Al comparar ambos tipos de problemas, por ejemplo, entre 7 personas, elegir 2 para formar una dupla presidente-vicepresidente de un club y entre 7 personas elegir 2 para armar un equipo de tenis, los alumnos suelen reconocer que en el segundo problema hay menos casos que en el primero, pero la dificultad aparece cuando se trata de determinar cuántos hay. El hecho de tener "menos casos" es asociado, en general, a "restar alguna cantidad" a la cantidad inicial, lo que complejiza la búsqueda de un método de cálculo puesto que "esta cantidad" no es simple de encontrar.

En este trabajo, proponemos una estrategia que el docente puede utilizar para ayudar a los alumnos a buscar otro procedimiento, bastante económico, basado en los conocimientos que el alumno ya posee.

Estamos suponiendo que los alumnos ya han resuelto problemas de variaciones y permutaciones y que disponen de procedimientos de cálculo para los mismos.

Desarrollo

Se trata de proponer cualquier problema de combinatoria en el que no sea necesario considerar el orden de los elementos (suponiendo que es la primera vez que se enfrentan a un problema de este tipo) y permitir a los alumnos desarrollar sus propios procedimientos para llegar a la respuesta.

Por ejemplo: Entre 20 alumnos de una clase, hay que elegir 3 de ellos para armar un grupo de representantes de la clase para realizar una visita. ¿Cuántos grupos diferentes podrían representar a la clase?

Hemos elegido 20 alumnos para que el conteo de todos los casos, de manera individual, resulte costoso. Podría suceder que no lo fuera para algunos grupos de alumnos; en este caso es conveniente que el docente proponga otro problema con valores mayores.

Luego de permitir a los alumnos desplegar sus propios procedimientos (nuestras experiencias nos dicen que aquellos que arriban a la respuesta lo hacen vía procedimientos muy costosos y que muchos no consiguen arribar a la respuesta) resultaría adecuado que el docente solicite a los alumnos que confeccionen un cuadro como el siguiente, en el que en cada renglón tendrán que poner todos los grupos de a 3 personas que ahora serán contados una sola vez:

Hemos utilizado las letras para representar a cada uno de los integrantes del curso. Seguramente no sea necesario que los alumnos completen totalmente el cuadro sino solo algunos renglones para reconocer su estructura.

A partir del mismo el docente puede discutir con los alumnos cuestiones como las siguientes:

• la manera de calcular la cantidad total de elementos que tendrá este cuadro (un problema ya conocido de variaciones, para el cual los alumnos disponen de un recurso de cálculo);
• la manera de calcular la cantidad de elementos que tiene cada renglón del cuadro (problema de permutaciones ya conocido);
• la forma de utilizar estos dos valores calculados y la estructura del cuadro para llegar a la respuesta.

Es posible que algunos alumnos propongan respuestas como la siguiente:

"Se sabe que cada renglón siempre tendrá 6 grupos de los cuales me interesa contar sólo 1. Se sabe, además, que en total habrá 20 x 19 x 18 = 6840 grupos. Entonces, aplicando regla de tres simple:

De 6 me interesan 1
De 6840 me interesan x
X = 6840 : 6"

También es posible que otros digan:
"En el cuadro hay en total 6840 elementos y en cada fila hay 6. Como me interesa saber la cantidad de filas que habrá hay que dividir 6840 por 6", llegando al mismo resultado que en el caso anterior.

El docente deberá hacer notar a los alumnos que se ha resuelto un nuevo problema apelando a dos problemas ya conocidos: uno de variaciones (el numerador es la cantidad de grupos suponiendo que el orden importa) y otro de permutaciones (el denominador es la cantidad de grupos posibles, intercambiando los 3 integrantes), pudiendo arribar de esta manera a un método de cálculo económico.

Sugerencias didácticas

Un recurso para contar

Al diseñar las estrategias para la enseñanza de probabilidades, y en especial al abordar el cálculo de probabilidades por el método de Laplace, suele introducirse a los alumnos en el conteo de casos (combinatoria), utilizando las nociones de permutación, variación y combinación y recurriendo a las fórmulas respectivas para resolver problemas.

En este tipo de trabajo se encuentran muchas veces dos dificultades: por un lado, la identificación del tipo de organización de los casos que se desean contar para aplicar la fórmula adecuada; y por otro, la realización correcta de los cálculos.

¿Cómo abordar la resolución de problemas cuya organización de casos no responde a ninguna de las 3 estructuras combinatorias principales? Deben utilizarse otros recursos que permitan realizar el conteo enumerando los casos, por ejemplo los diagramas de árbol. Si el número de casos es muy grande es conveniente proponer un trabajo con algún problema de igual estructura pero de menos casos, y debatir posibles generalizaciones de los casos particulares.

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