En busca de la constante

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Ilustración: Mariano Grynberg

Diferenciación en situaciones problemáticas de datos conocidos e incógnitas, datos relevantes e irrelevantes, datos necesarios e innecesarios, datos suficientes e insuficientes, etc., el caso de la constante de proporcionalidad directa.

Propósitos

Es sabido que existen algunos problemas para los cuales los alumnos consideran más datos que los que se explicitan en el enunciado así como otros en los que ciertos datos, en general, son ignorados por los alumnos o considerados irrelevantes, aunque nosotros sepamos que resultan fundamentales para resolver la situación planteada.

Un caso particular se presenta con muchos problemas de proporcionalidad directa en los cuales los alumnos dan por supuesto, implícitamente, la existencia de una constante de proporcionalidad, por ejemplo, frente a problemas del tipo "tenemos 8 caramelos para repartir entre cuatro chicos. ¿Cuántos caramelos les toca a cada uno?". Los alumnos suelen dar por supuesto que a todos los chicos hay que entregarle la misma cantidad de caramelos, aunque ésta no sea una condición del enunciado.

Por otro lado, cuando aparece en los problemas algún dato que garantiza la posibilidad de utilizar proporcionalidad directa para resolverlos, este dato es prácticamente ignorado por los alumnos sin apelar a él aun en la justificación de los procedimientos propuestos.

Nos parece entonces importante proponer actividades que pongan de relieve este aspecto central de la proporcionalidad, las que en este caso no se centrarán en la resolución de los problemas sino en el análisis de los datos necesarios para poder utilizar el concepto de proporcionalidad directa como modelo de resolución.

Desarrollo

Actividad 1

Los alumnos deben indicar cuáles de los siguientes problemas pueden resolverse utilizando proporcionalidad directa y cuáles no, y luego explicar cómo pensaron en cada caso.

• Tres tomos de una enciclopedia suman 240 páginas. ¿Cuántas páginas tendrá la enciclopedia completa si es de 15 tomos?
• Cada una de las mesas de un restaurante tiene 4 patas. Si en total contamos 96 patas, ¿cuántas mesas hay en el restaurante?
• En una tienda, 3 metros de tela cuestan $ 15. Si necesitamos comprar 12 metros, ¿cuánto tenemos que pagar?
• Una persona vive a 20 cuadras del trabajo y el boleto de colectivo le cuesta $ 0,70. ¿Cuál será el precio del boleto para otra persona que vive a 60 cuadras del trabajo y toma el mismo colectivo?

Actividad 2

En los problemas de la actividad 1, cuya solución no sea posible con proporcionalidad directa, se planteará esta pregunta: en el problema ¿se puede agregar algún dato para que sí pueda resolverse con este concepto?
Proponemos poner al alumno en situación de indagar la presencia o no de la constante de proporcionalidad en cada uno de los problemas presentados.

En esta propuesta apelamos a diferentes contextos, algunos de los cuales permiten evidenciar más fácilmente la no existencia de una constante de proporcionalidad. Es el caso de los boletos de colectivos para el cual los alumnos saben que la tarifa no cambia cuadra a cuadra y por lo tanto este conocimiento puede cuestionar un procedimiento de tipo proporcional para resolver el problema.

También hemos elegido otros contextos para los cuales parece natural considerar la existencia de una constante de proporcionalidad, tal es el caso del problema donde se plantea la compra de tela. Sin embargo, el docente puede recordar a los alumnos algunos de los problemas de ofertas ya trabajados en la Propuesta N° 5 (Un problema de ofertas ) y de esta manera resaltar la necesidad de especificar la no existencia de descuentos en este negocio para poder apelar al concepto de proporcionalidad directa.

Sugerencias

El docente puede variar el tipo de actividades solicitando a los alumnos la proposición de problemas en los que no sea posible utilizar proporcionalidad directa y de otros en los que sí sea posible.

Otra opción es presentarles a los chicos problemas con datos incompletos y pedirles que agreguen los datos necesarios para poder resolverlos apelando a este concepto.

Sugerencias didácticas

Un problema de ofertas. En busca de la constante

Coincidimos con el enfoque que señala que aprender matemática significa construir el sentido de los conocimientos; es decir, que el alumno entienda qué tipos de problemas puede resolver y cuáles no usando un determinado conocimiento.

Por eso nos parece interesante discutir con los alumnos cuándo el modelo de proporcionalidad directa sirve para resolver un problema y cuándo no. Es decir, cuáles son los datos que deben aparecer en una situación problemática para garantizar la posibilidad de utilizar proporcionalidad directa para resolverla.

En general, cuando los alumnos resuelven un problema dan por supuesta la existencia de una constante de proporcionalidad. Un ejemplo de esto se da en los problemas del tipo "Si se sabe que con $ 3 se compraron 2 kilos de naranjas, ¿cuánto costarán 5 kilos de naranjas?". Los alumnos dan por obvio que 1 kilo de naranjas debe costar la mitad de lo que costaron 2 kilos, es decir, $1,5. Lo que no tienen en cuenta es que podría tratarse de un problema de "oferta", para cuya solución no es pertinente el modelo de proporcionalidad directa.

Otro ejemplo donde se pone en evidencia lo dicho son los problemas del tipo "si sabemos que un automóvil tardó una hora en recorrer 50 kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer 150 km?". Los alumnos dan por supuesto que la velocidad de manejo se conserva. Este dato no aparece en el problema; es decir que los alumnos consideran más datos que los que se brindan en el enunciado.

Nos parece importante entonces proponer actividades que pongan de relieve este aspecto central de la proporcionalidad, que no sólo atiende a la resolución de problemas sino al análisis de los datos necesarios para poder utilizar el concepto de proporcionalidad directa como modelo de resolución.

Además, para los problemas cuya resolución no sea posible con proporcionalidad directa sugerimos preguntarles a los alumnos si se puede agregar algún dato que permita resolverlos con ese concepto.

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