Números, palíndromos y paradojas: otras maneras de contar

«Con lo único que me siento feliz es con las matemáticas. La nieve, el hielo, las cifras. Para mí, el sistema numérico es como la vida humana. Primero están los números naturales, los que son enteros y positivos. Son los números de un niño pequeño. Pero la conciencia humana se amplía y el niño descubre el deseo. ¿Saben cuál es la expresión matemática para el deseo? Los números negativos: la formalización de la sensación de que te falta algo. Entonces el niño descubre los espacios intermedios entre las piedras, entre las personas, entre los números, y aparecen las fracciones. Es como una especie de locura, porque nunca se llega al final, nunca se detienen allí. Hay números que no podemos ni empezar a comprender. Las matemáticas son un paisaje inmenso y abierto. Te diriges hacia el horizonte que siempre retrocede. Como en Groenlandia. Y yo soy incapaz de vivir sin eso. Por eso no puedo estar encerrada».

Estas palabras son del personaje llamado Smilla, una matemática fascinada por los números, los fractales de la nieve y el infinito en la película danesa Smilla, misterio en la nieve. El filme se centra en la cosmovisión de esta mujer para quien el vínculo entre vida y matemática, y más concretamente, entre la existencia y los números es vital.

Un punto es lo que no puede dividirse, una línea es una longitud sin anchura... No podemos negar que estos son conceptos poéticos, así como lo son los palíndromos.

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¿Qué tiene de particular esta frase? ¿Qué la hace única y misteriosa? ¿Cómo se relaciona con los números? Es lo que en matemática se define como palíndromo. ¿Una frase construida matemáticamente o narrativamente calculada?

Los matemáticos clasifican los números en reales, racionales, irracionales..., pero también nombran los números con diversos adjetivos: perfectos, amigos, triangulares, cuadrados, cúbicos, mágicos, felices, primos, capicúas, etc.

Los números palindrómicos suelen llamarse capicúas. Los aficionados a los juegos de palabras, así como los numerólogos, se han interesado desde siempre por la palindromía de todo tipo, seguramente debido al placer estético que nos causa la peculiar simetría de los palíndromos.

El vocablo palíndromo proviene del griego palin dromei que significa 'volver a ir hacia atrás'. Se trata de un juego que atañe a las palabras y que nos permite leer un término o una frase de derecha a izquierda y de izquierda a derecha manteniendo el mismo significado, aunque la grafía varíe un poco. Cuando el palíndromo se produce en un número, recibe el nombre de capicúa, por ejemplo: 525.

Los palíndromos surgen en los lugares y disciplinas más inesperadas: hay melodías que pueden ejecutarse desde el final hacia delante o desde adelante hacia el final y suenan igual. Alejandro Gamerro cuenta:

«Franz-Joseph Haydn, padre de la sinfonía y el cuarteto, utilizó la composición palindrómica en su Sinfonía N.º 47 en sol mayor, concretamente en el tercer movimiento, un minueto titulado "Minueto al roverso" en el que la segunda parte es exactamente igual que la primera pero al revés. La partitura capicúa se completa con un trío que es también palindrómico, lo que explica que esta sinfonía se conozca habitualmente con el nombre de "El palíndromo". Otra composición que utiliza una técnica parecida es "El dueto del espejo", un divertimento en Sol mayor para dos violines atribuido a Mozart. Esta partitura la ejecutan dos violinistas al mismo tiempo, pero situados uno frente a otro y con la partitura de por medio uno va de adelante hacia atrás y el otro de atrás hacia adelante».

En la naturaleza, muchos organismos muestran simetría bilateral —simetría con respecto a un plano— especialmente el hombre. Otros, como la estrella de mar, por ejemplo, presentan simetría radial; hay dibujos y pinturas concebidos con simetría axial.

Palíndromos de nuestro idioma

• anilina
• oso
• rotor
• oro
• radar
• reconocer
• somos
• ananá
• arenera
• seres
• sos
• Ana

• Anita lava la tina
• Somos o no somos 
• Luz azul 
• A ti no, bonita 
• Sobornos son robos
• Amigo no gima
• Lavan esa base naval
• La ruta natural

De palíndromos a paradojas

Hay otro fenómeno fronterizo entre la matemática y la literatura, entre la matemática y la lógica, entre la matemática y la filosofía... nos referimos a las paradojas.

Al matemático y filósofo Bertrand Russell le fascinaban las paradojas y pasó mucho tiempo de su vida dedicado a disfrutarlas. Como también era un amante de la literatura resultó hechizado por una novela de Laurence Sterne llamada Vida y opiniones del caballero Tristam Shandy.

En su obra Misticismo y lógica, Bertrand Russell se refería a la «paradoja Shandy» de este modo:

«Tristram Shandy, como se sabe, invirtió dos años para hacer la crónica de los dos primeros días de su vida, y se lamentaba de que a ese ritmo el material se acumularía máss rápidamente de lo que él era capaz de elaborarlo, de suerte que con el paso de los años cada vez estaría más lejos del final de su relato. Ahora bien; yo sostengo que si él hubiese vivido eternamente sin sentirse cansado de su trabajo, entonces, aun en el caso de que su vida hubiese estado tan repleta de acontecimientos como cuando comenzó, ninguna parte de su biografía habría quedado sin escribirse. En efecto: el día centésimo será escrito en el año centésimo, el día milésimo en el año milésimo, y así sucesivamente. Cualquier día que elijamos, tan lejano que se pierdan las esperanzas de llegar a él, ese día será descripto en el año correspondiente. Así, cualquier día que pueda mencionarse será escrito más tarde o más temprano, y, por ende, ninguna parte de la biografía quedará permanentemente por escribir. Esta proposición paradójica, pero perfectamente verdadera, depende del hecho de que el número de días de todo el tiempo no es mayor que el número de años».

Contar la vida

Tristam Shandy, el protagonista de la novela de Sterne, es quien se dispone a contar su vida, pero no puede jamás concluirla por dos razones: porque sigue viviéndola y se prolonga en el tiempo sin que el relato la alcance; y porque el hilo de la novela es absolutamente digresivo y su narración toma todos los caminos laterales más inverosímiles. Las opiniones de Tristam son desopilantes, tanto como los recursos formales del libro en el que hay capítulos de una sola línea, otros en blanco para que los redacte el propio lector y otros escritos en cuatro idiomas.

La novela Tristram Shandy es una obra sobre la colisión entre lenguaje y conciencia. Mientras el narrador relata su historia, se le ocurren constantemente nuevos pensamientos, de forma que las reiteradas asociaciones de ideas van arruinando paulatinamente el texto que escribe y lo convierten en un, aparente, paisaje en ruinas. El pensamiento es más rápido que la escritura. Por eso el narrador pronto se encuentra con un texto en el que lo que deber ser relatado toma la forma de una masa inmensa y en permanente aumento que empuja hacia adelante. Esto se hace evidente desde las primeras páginas: en realidad, el narrador Tristram quiere iniciar la historia de su vida por el principio de los principios, pero inmediatamente cae en la cuenta de que también este hecho tiene su propia historia, que es necesario relatar.

Sterne, su autor, lo sabía tan bien como lo sabía el personaje Tristram, que el problema era escribir diez veces más rápido de lo que había vivido y cien veces más rápido de lo que estaba viviendo a fin de admitir su vida en su obra: así se condenaba a escribir como un esclavo y a dejar de vivir.

El padre de Tristam, Walter Shandy, descubrió que la "tristrampedia" que estaba escribiendo por la educación de su hijo resultaba inútil porque a medida que escribía (y le costaba mucho) su hijo iba creciendo y superando las etapas sobre las que estaba disertando. Y Tristram se encuentra con que jamás podrá llegar a terminar de contarnos su vida, ya que sus digresiones-necesarias para que la comprendamos-le obligan a escribir siempre por detrás de los acontecimientos. Dado que esta narración previa exige asimismo algunos comentarios, se va retrotrayendo cada vez más y paulatinamente acaba en una suerte de meandro laberíntico de historias.

Jugando un poco con las paradojas

A la paradoja la podemos entender en dos sentidos: uno más amplio, como aquello que va en contra de la opinión general y otro, más concreto, como aquello que encierra contradicción. Es este segundo sentido el más atractivo en matemáticas, aunque el primero no deja de tener su interés.

Vamos a jugar un poco con el segundo sentido de las paradojas para hacer la delicia de los matemáticos. Les proponemos un juego, analizar estas tres afirmaciones con aroma contradictorio:

1. Hay tres clases de personas: las que saben contar y las que no.
2. Hay dos grupos de personas en el mundo; aquellos que creen que el mundo puede ser dividido en dos grupos de personas, y aquellos que no lo creen.
3. Hay dos grupos de personas en el mundo: aquellos que pueden ser categorizados en uno de dos grupos de personas, y aquellos que no."

¿Cuáles son las posibles lecturas de estas afirmaciones?

1. Esta nos dice que el autor de la frase no sabe contar. No hay contradicción, aunque sí sorpresa.
2. Evidentemente, quien escribe pertenece al primer grupo. No hay contradicción, aunque sí sorpresa, y cierta sensación de caída en una secuencia infinita. Aquí podríamos señalar con razón que la segunda de las estrofas no es una paradoja completa, y sugerir añadir la frase: «Yo pertenezco a este último grupo».
3. Este es el ejemplo que más se acerca a la paradoja en el sentido de contradicción, aunque tampoco lo es: en realidad es una demostración de que el conjunto de las personas que no pueden ser categorizadas en dos grupos es el conjunto vacío.

¿Se animan a pensar proposiciones que contengan paradojas? Para dar una ayudita y sumarle humor al pensamiento matemático compartimos algo de lo que dicen al respecto los personajes de Mafalda.

La paradójica Mafalda

Las tiras de Mafalda, del dibujante y escritor Quino, tienen momentos matemáticos y paradójicos memorables, traemos algunos de ellos para sonreír y pensar.

La pequeña Libertad y el triángulo

Mafalda y los porcentajes

La pequeña Libertad, los pocos y los muchos

Manolito y el orden de los factores

Si hay algo que siempre debemos agradecerle a la matemática, a la literatura, al arte en general y a la naturaleza es la inmensidad de mundos que nos abren a cada instante alimentando constantemente nuestra capacidad de asombro.