Esta actividad tiene como objetivo trabajar la problemática de la modelización.
Permite además, una primera aproximación a las características fundamentales de los
fenómenos lineales y de sus formas de representación.
Ilustración: Fernando Pont
Modelización de situaciones problemáticas a través de materiales, tablas, gráficos y fórmulas.
Se trata de una actividad que permite trabajar la problemática de la modelización: elección de variables pertinentes (en la etapa de experimentación, los alumnos tendrán que decidir cuáles son las variables a considerar para resolver el problema que luego se les planteará), la medición de sus valores, las condiciones bajo las cuales la anticipación esperada es pertinente, etc. Esta actividad permite también una primera aproximación a las características fundamentales de los fenómenos lineales y de sus formas de representación.
Por otro lado, se trata de una actividad interesante puesto que permite al docente analizar la función que en ella juegan los materiales concretos, función que muchas veces se desliza hacia una manipulación sin un objetivo específico.
Los alumnos necesitarían autitos a pila, cronómetros, cintas métricas y pistas de madera en donde se indique el lugar de salida, como se muestra en el siguiente dibujo. La velocidad de los autitos debe ser aproximadamente constante y las pistas tener todas la misma longitud (en las pistas pueden construirse unos carriles de tal manera que el auto no se desvíe y se desplace siempre en línea recta).
Organización de la clase: los alumnos trabajan en grupos de cuatro
Consigna: teniendo a su disposición un autito, una pista, cintas métricas y cronómetros, se les plantea el siguiente problema:
El auto es largado a ...... cm de la salida. ¿A qué distancia de la salida se encontrará el auto luego de ...... segundos de ser largado?
Los alumnos deberán experimentar con los autitos haciendo lo que crean necesario y teniendo en cuenta que luego de esta experimentación se completarán los espacios en blanco que están en el problema (con diferentes valores) y tendrán que resolverlo con los datos obtenidos en esta experimentación, sin volver a utilizar los autitos.
Luego de proponer una respuesta, podrán verificar si es correcta haciendo la experimentación efectiva.
Organización de la clase: continúan trabajando los grupos ya armados. Consigna: supongamos que cada uno de los autitos se larga a 25 cm de la salida. Se propone a los alumnos responder:
(Los datos que se proponen analizar deberán ser elegidos por el docente en función de la velocidad aproximada de los autitos con que trabaje en clase. En nuestro caso, estamos pensando en un autito hipotético con una velocidad aproximada de 5 cm/seg.)
Organización de la clase: una primera etapa de trabajo individual para luego continuar con los grupos ya organizados.
Consigna: ¿Cuál o cuáles de los siguientes gráficos puede corresponder a la distancia a la línea de salida en función del tiempo del auto considerado en la Parte 2? ¿Cuáles gráficos no pueden corresponder? ¿Por qué?
¿Por qué en la Parte 1 de la actividad se dejan espacios en blanco en el problema planteado a los alumnos?
Porque la actividad perdería sentido si estos espacios se completan de antemano (los alumnos medirían la distancia en el tiempo propuesto y se acabaría ahí la actividad). El objetivo es que los alumnos decidan aquellos datos necesarios a considerar que les permitirán anticipar la posición del auto en función del tiempo, cualquiera sea la distancia inicial a la cual se lo coloca y cualquiera sea el tiempo que se desee considerar.
Algunos de los procedimientos habituales que hemos observado en clase son:
Es importante observar que, en estos procedimientos, los alumnos están dando por supuesto (de manera implícita) un dato fundamental: la velocidad del auto es constante, dato que no se les ha explicitado a los alumnos puesto que es la esencia del modelo que se desea construir.
En las diferentes oportunidades que hemos experimentado esta actividad, ningún alumno se planteó la necesidad de analizar explícitamente este supuesto como condición para que los procedimientos anteriormente señalados sean válidos.
Nos parece que en una primera etapa del trabajo es posible avanzar sin necesidad de esa explicitación, para luego realizar una confrontación con alguna actividad posterior en la cual ese supuesto se ponga de manifiesto (por ejemplo, ubicando la pista en un plano inclinado, lo que implicará evidenciar un cambio de velocidad y, entonces, una vuelta sobre el problema anterior).
Cuando el docente presente pares de datos para confrontar la anticipación con la experiencia efectiva en la Parte 1, es interesante proponer, entre otros, los siguientes:
Es probable que los alumnos calculen la distancia a la línea de salida para el primer par de valores, que en nuestro auto supuesto de velocidad 5 cm/seg nos daría que se encuentra a 10 + 4 x 5 = 30 cm de la salida, y que digan que en el caso siguiente se encontrará a 60 cm de la partida puesto que se trata del doble de tiempo. Es interesante discutir con los alumnos por qué este razonamiento es erróneo, ya que la elección de colocar el autito en un lugar que no fuera la salida es intencional para poner en discusión la posibilidad o no de utilizar proporcionalidad, o entre qué variables es posible utilizarla (no hay proporcionalidad entre el tiempo y la distancia a la línea de salida, pero si la hay entre el tiempo y la distancia recorrida por el auto, puesto que su velocidad es constante).
En las Partes 2 y 3 se proponen diferentes formas de representación del modelo matemático que permite resolver el problema planteado. Será interesante discutir con los alumnos, a propósito de la fórmula solicitada en 2a, el significado de cada uno de los coeficientes que aparecen en ella, así como la variación de éstos en función de la variación de los datos del problema. Asimismo, en el caso de la representación gráfica, se pretende relacionar la característica esencial de los modelos lineales (variación constante) con las características de los gráficos propuestos.
Durante la realización de estas pruebas, proponeles a los alumnos que saquen fotos o filmen las distintas experiencias y luego editen un video con Movie Maker (programa de edición de videos instalado en los equipos). Si no cuentan con una cámara filmadora o de fotos, podrán utilizar las webcams que incluyen los equipos o un celular con cámara de fotos. Los alumnos deberán organizarse en grupos y distribuir los roles y tareas para realizar un trabajo colaborativo. Podrán compartir los archivos y documentos de Google Docs y alojarlos en la red de la escuela o en alguna de las máquinas.
Sugerencia: en los dispositivos de los alumnos y en las notebooks de los docentes hay instalados graficadores de funciones matemáticas, realizadores de cálculos científicos y sistemas de geometría dinámica, que pueden resultar de utilidad para esta actividad.
A partir de actividades como las presentadas, es posible seguir diferentes caminos: podrían plantearse problemas de encuentro entre diferentes autos, introduciendo de esta manera las ecuaciones o podrían trabajarse otros modelos lineales que vincularan otros tipos de variables, por ejemplo, temperatura del agua en función del tiempo de calentamiento. En este último caso es interesante interpretar cada uno de los coeficientes del modelo lineal en función del contexto en el cual éste se construye.
* Esta actividad se ha realizado tomando como referencia una propuesta coordinada por la Prof. Patricia Sadovsky que se ha experimentado en diferentes oportunidades y que ha sido analizada en la cátedra de Didáctica de la Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires.