Pierre de Fermat fue un importante matemático francés del siglo XVIII. En las siguientes actividades veremos algunas aplicaciones prácticas de sus desarrollos teóricos.

Imagen: Silvana Coratolo

Supongamos que una persona quiere construir una casa en una zona rural y hay tres sitios en la zona a los que acude con la misma frecuencia ¿Dónde le conviene hacerlo?

Esta situación se traduce a un problema de optimización propuesto por Pierre Fermat (1601-1665).

Se considera un triángulo acutángulo ABC y un punto P interior. Consideramos la suma de las longitudes de los segmentos trazados desde el punto a los tres vértices. Se trata de encontrar el punto para el cual la suma anterior es mínima. Dicho punto se conoce como punto de Fermat del triángulo.

En el programa del Canal Encuentro, Alterados por Pi, Adrián Paenza cuenta un experimento que permite hallar el punto de Fermat, cuando todas las pesas son iguales. Ver clip de video.

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(Ver capítulo completo)

Una de las posibles construcciones es la siguiente. Sobre cada lado del triángulo se traza un triángulo equilátero. La intersección de los segmentos AA´, BB´ y CC´ determina el punto de Fermat. (idéntica construcción a la del teorema de Napoleón).

El punto de Fermat, F, es tal que los segmentos que lo unen con los vértices del triángulo forman entre sí 120º.

grafico

Actividad 1

Esta actividad está orientada a intuir experimentalmente donde está el punto de Fermat. Para ello:

  1. Dibujen un triángulo acutángulo ABC y dibujar varios puntos (aproximadamente 15) en su interior esparcidos regularmente.
  2. Para cada punto, calculen la suma de las distancias de este a cada vértice del triángulo.
  3. Comparen todas estas sumas y elijan la más chica.
  4. Resalten en el dibujo el punto del que provino esa suma y llámenlo P.
  5. Observen los ángulos APB, BPC y CPA. ¿Se nota algo?

Cierre

Discutan entre todos cuáles fueron las conclusiones de la experiencia e intenten arribar a conclusiones comunes.

Actividad 2

Esta actividad tiene el objetivo de ofrecer una demostración elemental de que el punto de Fermat forma el mismo ángulo con cada par de vértices del triángulo. Resulta claro que cada uno de estos ángulos es de 120 grados.

Guía de ejercicios

  1. Un problema de geometría: Sea QRS un triángulo equilátero y sea P un punto en su interior. Prueben que la suma de las distancias del punto S a los lados del triángulo es igual a la altura del triángulo.
  2. Consideren dentro de un triángulo acutángulo ABC un punto P tal que los ángulos APB, BPC y CPA sean iguales a 120 grados. Tracen rectas perpendiculares a los segmentos PA, PB y PC respectivamente. Llamen Q, R y S a las intersecciones de tales rectas. Observen que el triángulo QRS es equilátero y que PA, PB y PC suman la altura del triángulo.
  3. Consideren ahora otro punto P' en el interior de ABC y marquen los puntos A', B', y C' en los lados del triángulo QRS de manera tal que PA sea paralelo a P'A', PB a P'B' y PC a P'C'. Noten que P'A'+P'B'+P'C'=PA+PB+PC (esto sigue del inciso 1) y que PA es menor o igual que P'A, PB es menor o igual que P'B y PC es menor o igual que P'C. ¿Qué pueden observar de la suma de las distancias P'A, P'B y P'C con respecto a PA+PB+PC, cualquiera sea el punto P'?

Cierre

Verifiquen si las conclusiones arribadas en la primera actividad se corresponden con lo que demostraron en la segunda.

Actividad 3:

El punto de Fermat y la Física.

La estática, que estudia la situación de reposo de los cuerpos, está regida por dos condiciones de equilibro. La primera dice que en todo punto la suma de las fuerzas es nula y la segunda que la suma de los momentos es también nula. Si nos concentramos en el punto donde se unen los hilos y lo estudiamos, la primera condición nos dice que la suma de las fuerzas sobre él es cero. Como cada hilo realiza sobre el punto una tensión igual al peso m, tenemos que la suma de tres fuerzas de igual magnitud sobre el punto es igual a cero y esto implica que entre cada par de ellas formen siempre el mismo ángulo (de 120 grados).

Un argumento muy elegante sobre la existencia del punto de Fermat es uno que utiliza un argumento de tipo físico basado en un procedimiento de Arquímedes:

  1. Consideremos un triángulo ABC en un tablero horizontal elevado con un agujero en cada vértice.
  2. Pasamos un hilo por cada agujero, los atamos sobre la parte superior del tablero (los tres juntos) y fijamos una pesa m suspendida al final de cada hilo debajo del tablero. Levantamos los hilos atados y los soltamos.
  3. 3. La posición tomada por la unión de los hilos es el punto de Fermat del triángulo ABC.

Realicen entre todos esta experiencia en repetidas oportunidades. Los materiales necesariosa son:.