Te proponemos utilizar el principio de inducción para comprobar que todos los números naturales tienen cierta propiedad.

Inducción, recorriendo todo en dos pasos

Como hay infinitos números naturales, no se puede comprobar caso por caso que se cumple dicha propiedad. El principio de inducción es una herramienta muy útil para resolver este tipo de problemas.

En el programa del canal Encuentro Alterados por Pi, Adrián Paenza explica como funciona esta poderosa herramienta. Ver clip de video.

(Ver capítulo completo)

Ilustremos con un ejemplo: supongamos que quisiéramos ver que todo número natural n es menor que 2 n. Enunciemos entonces la siguiente propiedad:

"n tiene la propiedad si 2 n

Es claro que 1 tiene la propiedad Pya que 1 2 1= 2

Ahora, si probamos que cada vez que un número n tiene la propiedad  P , entonces ­el siguiente, n+1, también la tiene, habremos probado entonces que, como 1 tiene la propiedad  P entonces 2 la tiene y entonces 3 también y así siguiendo que todos los números naturales la tienen.

El principio de inducción dice que para probar que una propiedad se satisface para todos los números naturales basta con probar los siguientes dos enunciados.

Enunciado 1: El número uno posee la propiedad.

Enunciado 2: Si un número posee la propiedad, el siguiente número también la posee. Es decir, si n tiene la propiedad , entonces n + 1 también.

Así, siguiendo con el ejemplo anterior, ya vimos que 1 tiene la propiedad. Supongamos ahora, a esto se le llama hipótesis inductiva, que n tiene la propiedad y con ello probemos que n+1 también la tiene, en efecto, como n ­­2n, entonces n +1 2 n +1 2 n +2 = 2n+1 y por lo tanto n+1 también tiene la propiedad . Así completamos la prueba de que n ­­2 para todo número natural n

Proponemos aquí algunas actividades para aprender a usar el principio de inducción y para entender qué tipo de cosas podemos probar con él.

Actividad 1

En esta actividad vamos a demostrar algunas desigualdades usando el principio de inducción.

Consignas

Demuestren la validez de las siguientes desigualdades usando el principio de inducción

1. Para todo número natural n vale que n es menor o igual que su cuadrado.
2. Todo número natural n es menor que 2 n.
3. Para todo número natural n se tiene que la suma Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2n, es menor que 2- 1/2 n+1. Deducir que Sn es menor que 2 independientemente de la cantidad de sumandos.

Cierre

Debatan las diferentes naturalezas de los ejercicios 1, 2 y 3. Observen que con el tercero, a diferencia de con los otros, se acotan todos los términos de la secuencia de sumas dadas por el mismo número, eso puede desafiar nuestra intuición.

Intenten dar alguna explicación independiente de ese hecho del estilo de la siguiente: Dos personas se encuentran a dos metros de distancia, una comienza a acercase a la otra de la siguiente manera, primero da un paso de un metro, luego un paso de medio metro, después de un cuarto de metro y, así siguiendo, en cada paso se acerca la mitad de lo que se había acercado en el paso anterior ¿llega así la persona a alcanzar a la otra en algún momento? ¿por qué no?

Actividad 2:

En esta actividad vamos a probar la validez de algunas fórmulas y resultados usando el principio de inducción.

Consignas

1. Prueben que, para todo número natural n vale
   que 1 + 2 + 3 + 4 +... ....+ n =1/2. n(n + 1).
   • contando de dos maneras la cantidad de cuadraditos sombreados del diagrama.

     

   • sumando dos veces todos los términos y apareándolos el primero con el último, el segundo con el anteúltimo y así siguiendo.
   • usando el principio de inducción
2. Deduzcan del ejercicio 1 que, para todo número natural n vale que: 2 + 4 + 6 +... + 2n = n(n + 1).
3. Prueben que, para todo número natural, 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n 2.
   • contando de dos maneras la cantidad total de cuadraditos del diagrama

     

   • usando el ejercicio 1.
   • usando el principio de inducción.
4. Demuestren que la cantidad de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2 n. Noten que así también pueden probar el ítem 2 de la primera actividad ¿cómo lo harían?

Actividad 3

Proponemos ahora una actividad que parece hablar de las limitaciones de la inducción ¿es realmente así o hay algo mal en el razonamiento?

El problema es el siguiente, supongamos que quisiéramos demostrar que todos los caballos son del mismo color. Una buena técnica podría ser la inducción matemática. Intentaremos probar que todos los caballos son del mismo color probando que en todo conjunto de n caballos todos los caballos son del mismo color.

1. En un conjunto de un solo caballo todos tienen el mismo color.
2. Supongamos ahora que en un conjunto de n caballos todos son del mismo color y veamos qué pasa en un conjunto de n+1 caballos. Pongamos los n+1 caballos en una fila, quitemos el primero, como en todos los conjuntos de n caballos, éstos son todos del mismo color resulta que estos últimos n caballos son del mismo color. Ahora, si quitamos el último caballo en vez del primero, también obtenemos un conjunto de n caballos y por ende todos son del mismo color, pero entonces por un lado tenemos que el segundo caballo es del mismo color que el último y, por el otro que el color del primero es igual al del segundo. Pero entonces el primero y el último también son del mismo color y, por lo tanto los n+1 son todos del mismo color.
   ¿Es cierto que el principio de inducción falla en este caso?

Cierre

Discutan sobre esta supuesta paradoja e intenten hallar la falla del razonamiento. ¿Falla el principio de inducción o hay algo que hemos hecho mal cuando lo usamos?, ¿qué fue?

Cierre de todas las actividades

Discutan sobre la potencia de este método para demostrar cosas sobre los números naturales. Observen que las cosas que probamos con el método pueden ser bien diferentes unas de otras, formulas, desigualdades y  muchas otras más.

Encuentro Descargas

• Capítulo 8: Inducción, recorriendo todo en dos pasos

Enlaces de interés

• Números Naturales en Video
• Paradoja del Cuervo

Autor: Sebastián Freyre