Muy pocas personas entienden verdaderamente la teoría de la probabilidad, a pesar de que es tan relevante en nuestra vida cotidiana.

La teoría de la probabilidad puede predecir el comportamiento de la economía y del clima, las probabilidades de que se pierda un colectivo o de recibir una llamada de cierta persona a la noche.

Esta actividad les dará una muestra de la teoría de la probabilidad y de lo que se puede hacer con sus aplicaciones.

Software: Ninguno

¿Tienen una moneda?
Eso es todo lo que necesitan para demostrar las leyes fundamentales de la probabilidad. El profesor los guiará para debatir sobre las siguientes cuestiones.

Para dialogar:

Cuando se lanza una moneda:
¿cuál es la probabilidad de obtener cara?;
¿y de obtener cruz?

La teoría de la probabilidad establece que si existen N salidas igualmente probables, la probabilidad de obtener cualquier salida es 1/N.

1- Para encontrar la probabilidad de dos eventos independientes que ocurren en secuencia, se debe encontrar la probabilidad de cada evento separadamente y después multiplicar las respuestas.

Los lanzamientos de moneda son eventos independientes.
¿Cuál es la probabilidad de que caigan tres cruces seguidas si lanzamos tres veces una moneda?

2- ¿Cuál es la probabilidad de que caigan, ya sea tres cruces o tres caras seguidas?

Esta pregunta difiere de la anterior debido a que hay un 100% de posibilidad de que salga cara o cruz en el primer lanzamiento.

3- Supongan que lanzan un dado de seis lados. ¿Cuál es la probabilidad de cada salida posible (1-6)?

4- ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número par o impar, o un número divisible por 3? Describan la relación entre eventos y salida en la teoría de la probabilidad.

5- ¿Cómo probarían sus respuestas a cada una de estas preguntas? ¿Pueden argumentar sus razonamientos para comprobar que sus respuestas son correctas?

6- Entre todos y con la ayuda del profesor elaboren definiciones para los conceptos mencionados.

Software: Microsoft Excel

En un primer momento van a utilizar la teoría de la probabilidad para predecir las probabilidades de que salga un número determinado al tirar un dado.

Después lancen el dado y comprueben qué tan bien pueden sostener la hipótesis que elaboraron.

Si cuentan con conexión a internet, busquen información sobre el tema que pueda ayudarlos.

1- Puede ser imposible ganarles a las probabilidades, pero es fácil calcular cuáles son. Formen un equipo con sus compañeros para investigar el comportamiento de un dado virtual.

a. Para un solo dado de seis lados, la probabilidad de cada salida posible (1, 2, 3, 4, 5, 6) es 1/6.

b. Cuando se lanzan dos dados, hay 6 x 6 = 36 posibles salidas, como se representa en las celdas de la siguiente tabla. La probabilidad de cada una de estas salidas es 1/36.

1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12

c. La probabilidad de un evento en particular, como que caiga una combinación que sume 8, es la suma de las probabilidades de las salidas que produce. Por ejemplo, existen cinco maneras de que caiga un 8, así que la probabilidad de que caiga un 8 = 5 (1/36) = 5/36. Calculen las probabilidades de que caiga cada combinación, desde 2 hasta 12.

d. Observen y analicen el cuadro anterior y respondan:

Cuando se tiran dos dados y se suman sus números, ¿cuál es el número que tiene más posibilidades de salir? ¿Cuántas posibilidades hay de que salga?

2- Pueden construir un simulador de lanzamiento de dados en Excel para probar sus predicciones de probabilidad. Deben tener en cuenta lo analizado en el punto anterior para crear las fórmulas.

Para tener en cuenta: la siguiente explicación se realiza teniendo en cuenta la planilla sin los encabezados, partiendo de la fila 1 y hasta la 108.

3- Deben usar la función de azar de Excel para simular un dado. La fórmula de número al azar (RAND()) o (ALEATORIO()) genera un número al azar entre 0 y 1. Necesitarán multiplicar este número por 6 para obtener un número en el rango correcto (0-6). Para convertir estos resultados a números enteros, necesitarán aplicar la función entera (INT) o (ENTERO). Finalmente, debido a que la función entero redondea al número menor entero más cercano (dando un rango numérico total de 0-5), necesitarán agregar 1 al resultado para efectuar lanzamientos al azar de un dado de 1 a 6. La fórmula para simular el lanzamiento de un dado es:

= INT( 6 * RAND()) + 1
=ENTERO( 6*ALEATORIO())+1

Tecleen esta fórmula en la celda A1 y utilicen la función de llenado para copiarla en ambas columnas A y B hasta el renglón 108. (Se escoge 108 porque es un múltiplo de 36 y simplifica pasos posteriores).

4- Las columnas que definieron "lanzarán" dos dados simultáneamente (la columna A representa un dado; la columna B representa el otro) 108 veces. Ahora necesitan definir la columna C para el total de los dos dados para cada lanzamiento. En la celda C1, escriban la fórmula: =A1+B1.

Utilicen la función de llenado para copiar esta fórmula hasta la celda 108.

5- Definan las tres columnas siguientes a su columna de conteo:

a. En la columna E tecleen los números desde 2 hasta 12. Esto servirá como referencia para identificar qué es lo que se está contando en cada celda. Pueden utilizar la función autocompletar.

b. Definan en la columna F los conteos que esperan para cada salida, basados en la tabla de probabilidades del Paso B. Por ejemplo, la probabilidad de que caiga 7 es 6/36. La fórmula para tal salida esperada, cuando el dado es lanzado 108 veces es: = (6/36)*108.

Lanzando el dado 108 veces (o cualquier múltiplo de 36) se eliminan las salidas fraccionales y la necesidad de redondear el resultado.

c. En la columna G pueden utilizar la función de Excel COUNTIF() o CONTAR.SI() para contar cuántas veces obtienen cada posible salida (2-12) al lanzar sus dos dados. Por ejemplo, para contar el número de veces que ocurre un 7 en las celdas de la C1 hasta la C108, utilicen la fórmula:

= COUNTIF($C$1:$C$108,7)
=CONTAR.SI($C$1:$C$108,7)

donde $C$1:$C$108 define el rango de celdas y 7 es el número que debe contarse. Definan once celdas para contar las posibilidades de que salga entre 2 y 12 en la suma de los dos dados, es decir en las celdas C1-C108.

d. Definan en la columna H que calcule el porcentaje por el cual la salida real difiere de la salida esperada. Por ejemplo, si las ocurrencias esperadas de 7 se calculan en la celda F7, y las ocurrencias reales se calculan en la celda G7, puede calcular la diferencia con la fórmula: = (G7-F7)/F7.

Definan las celdas de las columnas para que muestren los resultados como porcentajes y no como números decimales, ejemplo 14%.

6- Creen el gráfico con el resultado de sus sesiones de lanzamiento de dados.

Seleccionen Gráfico del menú Insertar.

a. En la ventana del Asistente para Gráficos, seleccionen Columna en la tabla de Tipos Estándar, y a continuación presionen Siguiente.

b. En la ventana de Asistente para Gráficos, escriban el Rango de Datos seleccionando las once celdas que contaron las salidas de sus lanzamientos. Seleccionen la opción de Columnas para indicar cómo quieren que se muestren las series. En la pestaña de Serie, especifiquen las Etiquetas de Categoría de Eje (x) seleccionando las once celdas que representan el rango posible de salidas (2-12). Presionen Siguiente.

c. En la ventana de Opciones de gráfico del asistente, etiqueten su tabla y ángulos en la barra de Títulos. Presionen Siguiente.

d. En la ventana de Ubicación del gráfico, especifiquen dónde desean que se localice la hoja de cálculo, y después presionen Finalizar.

7- Si desean colocar encabezados en las columnas, utilicen el comando de Insertar -> Fila para crear celdas y escribir una etiqueta de texto por encima de las columnas. La planilla plantilla debe verse similar al ejemplo que se muestra a continuación.

Ejemplo de Analizador de Lanzamientos de Dados

8- Presionen F9 para lanzar los dados y recalcular la hoja de datos. (La hoja de datos se recalcula cada vez que se abre).

9- ¿Los porcentajes para cada lanzamiento concuerdan con sus predicciones? ¿Las diferencias son mayores o menores de lo que esperaban?

10- Utilicen el comando de llenado para extender las columnas A, B y C para lanzar múltiplos mayores de 36. Recuerden ajustar los valores de las fórmulas de la columna de salida esperada y salida real de acuerdo con esto. ¿Cómo afectan los resultados?

11- ¿Qué pueden deducir que sucede cada vez que se incrementa la cantidad de lanzamientos con relación al gráfico?

Para descargar el archivo hagan clic sobre él con el botón derecho del mouse, y seleccionen Guardar como/Guardar destino como para elegir una ubicación en su PC, luego presionen OK.

-Incluidos en este CD:

Cazando grillos (tomado de www.educ.ar)

-Recursos en internet:

Probabilidad
Historia de la probabilidad y conceptos básicos