Contenidos

Ilustración: Mariano Grynberg

Interpretación y representación de conceptos y relaciones en distintos marcos (físico, gráfico, geométrico, etc.): perímetro y área.

Propósitos

El trabajo escolar asociado con perímetro y área de figuras suele quedar reducido al cálculo y a la representación geométrica de figuras. Pero también aquí, como en relación a otros contenidos, es importante plantear situaciones que puedan resolverse en diferentes marcos (geométrico, numérico, algebraico) tanto en la representación como en la interpretación de la información. Esta apertura permite a los alumnos iniciar la resolución desde lo que les resulta más cercano y completarlo desde diferentes miradas.

Proponemos actividades que involucran los conceptos de perímetro y área de rectángulos y permiten analizar las relaciones entre ellos y las medidas involucradas.

Las actividades pueden ser presentadas a un mismo grupo de alumnos en diferentes momentos, y presuponen que los alumnos pueden calcular perímetros y áreas de rectángulos.

Desarrollo

Los contenidos perímetro y área pueden considerarse, por una parte, como propios de un marco numérico, en tanto medidas. Siendo medidas asociadas a figuras, el marco geométrico también se pone en juego.

En las siguientes propuestas, las actividades 1 y 3 implican el trabajo en esos marcos. Las actividades 2 y 4 implican un avance en el marco algebraico.

Actividad 1

En esta propuesta les sugerimos diferentes materiales a), b) y c) para una misma actividad.

1. Se presenta a los alumnos una cuadrícula (por ejemplo de 20 por 20) con un rectángulo marcado (de 12 ó de 16 unidades de perímetro) y se les pide que dibujen, en la misma cuadrícula, otros tres rectángulos con el mismo perímetro. Para cada uno, que indiquen la base, la altura y el área.
2. Se entrega a cada grupo una cantidad fija de fósforos (por ejemplo, 12 ó 16) y se les pide que armen distintos rectángulos usando siempre el número total de fósforos. En cada caso hay que tomar nota de las medidas de la base y de la altura.
3. Con una soga cerrada de 12 m de largo formen figuras de lados rectos con 4 esquinas en ángulo recto de modo que la soga esté tensa y recta entre dos esquinas. Anoten base y altura en cada caso.

Luego se les pide a los alumnos que registren en una tabla los valores de base y altura obtenidos y que analicen todas las medidas enteras posibles de la base y de la altura de los rectángulos de perímetro fijo que armaron.

Actividad 2

A continuación se les puede pedir a los diferentes grupos, trabajando con la tabla obtenida de la Actividad 1, que:

• Analicen, a partir de la tabla, si existe una relación de proporcionalidad entre la base y la altura en rectángulos de perímetro fijo. Si es así, que analicen si es directa o inversa.
• Representen en una gráfica cartesiana la relación correspondiente a la tabla y analicen cómo se ubican los puntos.
• Busquen algún par de números no naturales que verifique esta relación.
• Encuentren, en la relación dada por la tabla (perímetro fijo), si entre todos los pares correspondientes es constante: la suma, la diferencia, el producto, el cociente, o ninguna de estas operaciones.
• Planteen la fórmula que relaciona la base y la altura.

En este caso, entran en juego los marcos numérico, funcional y algebraico. Sería interesante promover una discusión avanzando sobre la posible generalización de la situación trabajada (independizándose de la medida particular del perímetro).

La elección del valor usado para el perímetro puede variar, y también se pueden repetir algunos de los ejercicios con diferentes valores.

Es importante notar que si se elige el 12, muchos de los pares de valores de la tabla, pero no todos, tienen constante el producto. Esto puede llevar a los alumnos a creer que es una proporcionalidad inversa. Este ejemplo puede ayudarles a notar que es necesario pedir que la relación sea válida para todos los pares de valores de la relación

Si se toma el 16, esta situación no se presenta. Cada docente hará la elección de acuerdo con el grupo con que esté trabajando.

Actividad 3

Se puede trabajar de modo similar con rectángulos de área fija. Sugerimos dos materiales, a) y b) posibles.

1. Se presenta a los alumnos una cuadrícula (por ejemplo, de 20 por 20) con un rectángulo marcado (por ejemplo de 16 unidades de área) y se les pide que grafiquen, en la misma cuadrícula, otros tres rectángulos con la misma área. En cada uno, hay que indicar el perímetro.
2. Cada grupo recibe una cantidad fija de fichas cuadradas (por ejemplo, 16) y tiene que armar distintos rectángulos usando siempre el número total de fichas. En cada caso, tomarán nota de las medidas de la base y de la altura.

Luego se pide que analicen todas las medidas enteras posibles de la base y de la altura de los rectángulos de área fija (por ejemplo, 16 cm2.) y registren en una tabla los valores de base y altura obtenidos.

Actividad 4

A continuación se les pueden dar consignas como éstas, trabajando con la tabla resultante de la Actividad 3:

• analicen si existe una relación de proporcionalidad entre la base y la altura para rectángulos de área fija. Si es así, analicen si es directa o inversa.
• Representen, en una gráfica cartesiana, la relación correspondiente a la tabla y analicen si los puntos están o no alineados.
• Busquen algún un par de números no naturales que verifique esta relación.
• Busquen, en la relación dada por la tabla (área fija), si entre todos los pares correspondientes es constante: la suma, la diferencia, el producto, el cociente o ninguna de estas operaciones.
• Planteen la fórmula que relaciona la base y la altura.

Las actividades 1 y 2 (rectángulos de perímetro fijo) y 3 y 4 (rectángulos de área fija) permiten a los alumnos trabajar con ambas medidas (perímetro y área) en cada una de esas situaciones, lo que constituye una estrategia para que las diferencien. La confusión perímetro-área es frecuente en este nivel de escolaridad.

Actividad 5

En estas situaciones los alumnos pueden analizar variaciones conjuntas. Por ejemplo, las siguientes:

• Armen una tabla con los valores de la base y del área de un rectángulo de perímetro fijo (para el mismo caso que se trabajó antes, u otro). Grafiquen la relación y analicen si los puntos están o no alineados y si tiene un máximo o un mínimo.
• Armen una tabla con los valores de la base y del perímetro para área fija (para el mismo caso trabajado antes, u otro). Grafiquen la relación y analicen si los puntos están o no alineados y si tiene un máximo o un mínimo.
• Resuelvan estas situaciones problemáticas:

  Jorge necesita ubicar su terreno. Sabe en qué cuadra está y cuál es su perímetro. Encontró tres con el mismo perímetro y recordó que le habían dicho que el suyo era el más grande. ¿Cuál es? ¿Cómo se dio cuenta?

  Francisco tiene que llevar un mapa de la República Arge ntina a la escuela. En un Atlas encontró uno que ocupa el equivalente a 4 páginas del tamaño de las de su carpeta. Para reducir el área a la cuarta parte, ¿cómo tiene que reducir las medidas de los lados? ¿Cómo varía el perímetro?

  Si la escala del mapa del Atlas es 1 cm/100 km, ¿cuál será la escala del mapa de Francisco? ¿De 1 cm/25 km, de 1 cm/50 km, de 1 cm/100 km, de 1 cm/200 km o de 1 cm/400 km?

  Para la clase de Biología, Francisco tiene que llevar una foto de una rosa del tamaño de una hoja de su carpeta. La que encontró tiene de ancho la mitad del ancho de su carpeta, y de largo la mitad del largo de su carpeta. ¿Es cierto que Francisco debe duplicar las medidas de los lados? ¿Cómo varía el perímetro de la foto? ¿Cómo varía el área?

  Jorge resolvió varios cálculos y los organizó en tablas.

  En un caso, para rectángulos de igual perímetro, calculó la altura en función de la base; en otro caso -también para rectángulos de igual perímetro- halló el área en función de la base; y en el otro, para rectángulos de igual área, buscó la altura en función de la base. ¿A cuál de los cálculos corresponde cada una de estas tablas? ¿Por qué?

  6 3 12 2 8 16 4 24		6 3 12 2 8 11 2 12		6 3 12 2 48 33 24 24
  Tabla 1		Tabla 2		Tabla 3

Sugerencias

Proponemos otra situación que cada docente decidirá si plantea o no a sus alumnos según que ellos puedan avanzar sobre el marco algebraico.

Para hacer un patio cuadrado de 2 m por 2 m Felipe calculó que necesita 100 baldosas cuadradas. ¿Cuánto mide cada baldosa? Como no estaba seguro de la medida de su patio, armó una tabla con diferentes medidas.

Completen los datos de la segunda columna de la tabla de Felipe y encuentren una fórmula para expresar la relación de la tabla.