Raíces racionales de un polinomio y Teorema de Gauss
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Autores: Sebastián Vera y Javier Peña
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática: Aplicación del Teorema de Gauss para la búsqueda de raíces racionales de un polinomio
Nivel: Secundario, ciclo básico
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta secuencia trabajaremos con la búsqueda de ceros o raíces racionales de un polinomio a través del Teorema de Gauss. Mediante las actividades propuestas los alumnos podrán trabajar con este teorema, que les permitirá encontrar raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros.
Objetivos de las actividades
Que los alumnos:
Utilicen el Teorema de Gauss para hallar las raíces racionales de un polinomio de grado mayor que 2.
Analicen las ventajas de tener polinomios factorizados para hallar los ceros.
Identifiquen los ceros o raíces de polinomios aplicando la factorización de polinomios apelando a diferentes teoremas y propiedades.
Actividad 1
1) Hallen las raíces de los siguientes polinomios:
T(x) = x3 - 2x2 + x + 2
P(x) = 12x3 - 4x2 - 3x + 1
a) ¿Encontraron las raíces del polinomio P(x)? Completen el siguiente cuadro para conocer las raíces racionales de este polinomio:
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X0 |
P(x0) |
¿Es raíz de P(X)? |
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1 |
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-1 |
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1/2 |
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-1/2 |
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1/3 |
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-1/3 |
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1/4 |
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-1/4 |
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1/6 |
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-1/6 |
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1/12 |
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-1/12 |
Los valores (X0) dados en la tabla anterior fueron propuestos utilizando el Teorema o método de Gauss. Este método nos permite disponer de una lista de posibles raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros.
b) Para comprender en qué consiste este método, analicen la relación que existe entre los numeradores de los valores (X0) y el término independiente de P(x), y entre los denominadores y el coeficiente del término principal. Discutan lo analizado junto con el docente.
2) Para profundizar sobre el método de Gauss, visiten los siguientes links:
Factoreo con Gauss, ejercicios resueltos
Actividad 2
1) Apliquen el Teorema de Gauss para encontrar las posibles raíces y las raíces de cada uno de los polinomios que se presentan a continuación. Para ello, armen una tabla similar a la presentada en la actividad 1. Para realizar esta actividad, utilicen el procesador de textos de sus equipos portátiles.
F(x) = 6x2 - 9x - 6
G(x) = 5x3 - 10x2 + 5x - 10
H(x) = x4 + 12x2 + 36
R(x) = 27x3 + 3x + 5x - 10
a) Escriban los polinomios anteriores como productos de dos o más polinomios.
2) Encuentren las soluciones racionales de las siguientes ecuaciones:
x3 - x2 + 2 = 4x - x3
x4 – x3 + 2 = 4x + 3x2 + 4
-3x5 - 2x4 = -4x + 11x3 + 8x2
3) Un contador determina que las ganancias de uno de sus clientes se calculan mediante la siguiente fórmula: F(x) = x3 - 4x, en donde x representa la cantidad de artículos vendidos.
Para otro cliente determina que sus ganancias pueden establecerse mediante la siguiente fórmula: G(x) = 7x - 2, donde x representa la cantidad de artículos que vende.
Hallar para qué cantidad de artículos vendidos los clientes obtienen igual ganancia.
Actividad de cierre
1) Discutan junto con su docente las siguientes cuestiones:
¿Cómo podrían aplicar el método de Gauss para encontrar las raíces racionales de los siguientes polinomios?
T(X) = x3 -2/5 x2 + 1/2x +1
S(X) = x4 -3x3 + (13/14)x2 + (3/2)x2 + (1/4)
¿Sirve el Teorema de Gauss para encontrar todas las posibles raíces de un polinomio?
2) Observen el siguiente video, en el que se cuentan algunos de los problemas resueltos por Carl Friedrich Gauss en su juventud.
3) En grupos de dos o tres alumnos, realicen una investigación en paginas de Internet o en otras fuentes sobre la vida de este genial matemático al que algunos apodaron “El príncipe de las matemáticas”. Redacten lo analizado en el programa de textos de sus equipos.
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
¿Qué dice Gauss?
Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 1/5
Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 2/5
Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 4/5
Universo Matemático: 5 Gauss de lo real a lo imaginario 5/5
Bibliografía / Webgrafía recomendada
Kaczor, P. y otros: Matemática I Polimodal. Ediciones Santillana, Buenos Aires, 1999.