Raíces de un polinomio
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Autores: Sebastián
Vera y Javier Peña Responsable
disciplinar: Sebastián Vera Área
disciplinar: Matemática Temática:
Raíces o ceros de un polinomio y expresión polinómica factorizada
Nivel: Secundario, ciclo básico
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta secuencia trabajaremos con la búsqueda de ceros o raíces de un polinomio. Mediante las actividades propuestas los alumnos podrán observar y analizar las ventajas de escribir un polinomio en su forma factorizada para encontrar sus raíces. Para ello deberán recurrir a teoremas y propiedades vistas en otras secuencias, como el Teorema de Ruffini, el Teorema del Resto y la divisibilidad entre polinomios.
Objetivos de las actividades
Que los alumnos:
- Analicen las ventajas de tener polinomios factorizados para hallar los ceros.
- Vinculen la presencia de raíces de un polinomio con factores del mismo.
- Identifiquen los ceros o raíces de polinomios por medio de la factorización de polinomios, apelando a teoremas y a propiedades.
Objetivos pedagógicos
Actividad 1
Analicen la siguiente situación:
Para armar el asiento y el respaldo de una silla, un carpintero necesita cortar dos placas de madera con las siguientes condiciones:
Ambas piezas tienen que tener la misma superficie.
El asiento tiene que ser un cuadrado.
El respaldo tiene que ser un rectángulo que tenga el doble de altura que el asiento y su ancho 19,5 cm menor.
a) En grupos de dos o tres alumnos, completen la siguiente tabla con la información dada:
|
partes de la silla |
ancho |
largo |
área |
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|---|---|---|---|---|
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Asiento |
|
|||
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Respaldo |
|
|||
b) ¿Podrá el carpintero construir esta silla? ¿Qué ecuaciones debería plantearse para encontrar las medidas del asiento y el respaldo? Justifiquen su respuesta.
c) Para encontrar las medidas del asiento y el respaldo, tuvieron que calcular las raíces o ceros de algún polinomio. Visiten los siguientes links para profundizar sobre este tema:
Polinomios (les recomendamos bajar el programa de edición DescartesWeb 2.0, que les permitirá trabajar con las actividades interactivas).
d) A partir de lo visto en los links anteriores, discutan junto con el docente las siguientes cuestiones:
¿Qué relación existe entre las raíces de un polinomio y su expresión factorizada?
Si tuvieran que elegir algunos de los siguientes polinomios para hallar sus raíces, ¿cuáles serían y por qué?
- f(x) = (x - 5) (x - 2) (x + 1)
- g(x) = x4 + x2 - 2
- h(x) = x2 - 81
- j(x) = x2 + 4x + 10
- (x) = x2 ● (x - 5)
- Indiquen cuáles son las raíces de los polinomios elegidos.
Actividad 2
1) Completar los espacios en blanco del siguiente cuadro:
|
Polinomio desarrollado |
Raíces |
Expresión factorizada |
|---|---|---|
|
P(x) = 3x5 - 9x4 |
x = 0 y x = |
P(x) = 3x4 · (x - 3) |
|
Q(x) = |
P(x) = (x - 5) · (x + 2) |
|
|
T(x) = x2 - 25 |
T(x) = |
|
|
R(x) = |
R(x) = (x + 2)2 · (x - 1) |
2) Marquen la o las opciones correctas en cada caso:
a) Dado el polinomio p(x) = 2 · (x - 5) · (x + 6) + x3
x = 5 y x = -1 son ceros de f;
la expresión de f(x) está factorizada;
el resto de dividir f(x) por x - 1 es (-61).
2) Encontrar un polinomio 
de modo que: 
sea factor de ese
polinomio.
3) Encontrar un polinomio 
de modo que: sea uno de sus factores y
1 sea una de sus raíces.
4) Encontrar un polinomio de grado 4, de modo que: sea uno de sus factores y
1 sea una de sus raíces. Indicar todas las raíces de
.
Actividad de cierre
1) Completen los espacios en blanco según corresponda. Utilicen la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles para realizar los cálculos que sean necesarios.
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Polinomio desarrollado |
Polinomio factorizado |
Grado del polinomio |
Raíces |
Cantidad de raíces reales |
|---|---|---|---|---|
|
f(x) = x3 - 4x |
3 |
|||
|
g(x) = |
g(x) = x2 (x - 8) |
|||
|
h(x) = x2 + 8x + 4 |
h(x) = |
1 |
||
|
r(x) = x3 - 8x2 + x - 8 |
x = 8x = 1x = -1 |
3 |
||
|
Q(x) = |
Q(x) = (x - 2) · (x - 4) · (x - 4) |
3 |
||
|
T (x) = x3 + x2 + x + 1 |
T(x) = |
x = -1 |
1 |
|
|
P(x) = |
P(x) = (2x2 + 1) · (x - 3) |
a) Miren el cuadro y discutan junto con el docente si existe alguna relación entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces que posee.