Puntos notables de un triángulo
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Autores: Mercedes Sens Hourcade, Javier Peña y Daniel Brizuela
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática:
Construcción y análisis de mediatrices, bisectrices, alturas y
medianas. Circunferencias inscriptas y circunscriptas en un triángulo
Nivel: Secundario, ciclo básico
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta sección encontraremos y analizaremos las propiedades de algunos puntos notables de un triángulo. En las primeras actividades los alumnos utilizarán el programa Geogebra para encontrar y analizar las propiedades de los puntos notables tales como el circuncentro, incentro, ortocentro y el baricentro de diferentes triángulos. Finalmente, utilizarán las propiedades de estos puntos para resolver diferentes problemas de aplicación.
Objetivos de las actividades
Que los alumnos:
Reconozcan los puntos notables del triángulo y sus aplicaciones.
Analicen la pertinencia de la aplicación de los conceptos, aprendidos en esta secuencia, en situaciones problemáticas concretas.
Objetivos pedagógicos
Actividad 1
1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para resolver las siguientes actividades:
a) Construyan un segmento, ubiquen tres puntos equidistantes, es decir que estén a igual distancia, de los extremos del segmento, y junto con el docente respondan las siguientes preguntas:
¿Hay más puntos que cumplan con las condiciones anteriores? ¿Cuántos?
¿Se puede trazar una recta que pase por esos puntos? ¿Cómo se llama la recta?
b) Construyan un triángulo y tracen las mediatrices de cada uno de los segmentos que forman sus lados. Luego, respondan:
¿Las tres mediatrices se cortan en algún punto? Comparen su triángulo con los de sus compañeros.
El punto de intersección entre las tres mediatrices, ¿equidista de los vértices del triángulo? Justifiquen su respuesta. ¿Cómo se llama este punto?
Observen qué sucede con el punto de intersección obtenido en el ítem anterior si el triángulo es acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
c) Visiten el siguiente link. Luego, redacten una conclusión en la que se explique cómo se llama el punto de intersección que se obtiene al trazar las mediatrices de los lados de un triángulo y qué propiedad tiene.
Actividad 2
1) Utilicen el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, para resolver las siguientes actividades:
a) Construyan un ángulo y marquen tres puntos equidistantes de los lados del ángulo. Luego, respondan:
¿Hay más puntos? ¿Se pueden unir con una recta? ¿Qué nombre recibe esta recta?
2) Grafiquen un triángulo cualquiera, para hacerlo utilicen la opción “polígono”. Luego, construyan la bisectriz de cada uno de los ángulos del triángulo. ¿Las tres bisectrices obtenidas se cortan en el mismo punto?
a) Sobre el triángulo anterior, construyan una circunferencia, para hacerlo utilicen la opción “Circunferencia dados tres puntos”, tengan en cuenta que esos tres puntos son los vértices del triángulo inicial. Luego, junto con el docente discutan las siguientes preguntas:
¿A qué distancia se encuentran los vértices del triángulo del punto intersección de las tres bisectrices? ¿Qué nombre recibe ese punto?
3) Visiten el siguiente link. Realicen el ejercicio que ahí se plantea para cambiar los vértices del triángulo y observar cómo varía la posición del punto que se produce por la intersección de las bisectrices.
4) A partir de lo visto en el link anterior, redacten una conclusión que explique cómo se llama el punto de intersección que se obtiene al trazar las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo y cuál es su propiedad.
Actividad 3
1) Utilizando el programa geogebra construyan dos triángulos.
a) En el primero, tracen las medianas (segmentos que unen el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto) correspondientes a cada lado.
b) En el segundo, tracen las alturas correspondientes a los lados del triángulo.
c) ¿Qué observan en cada triángulo dibujado? ¿Las medianas trazadas o las alturas, se cortan en algún punto?
d) ¿En qué casos el punto de intersección está dentro o fuera del triángulo? Comparen los triángulos dibujados por sus compañeros.
2) Ingresen a los siguientes links para saber cómo se llaman estos puntos (el de intersección entre las medianas y el de intersección entre las alturas).
3) Expliquen con sus palabras cómo se obtienen y qué propiedades tienen el baricentro y el ortocentro de un triángulo.
4) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, grafiquen el baricentro y el ortocentro de un triángulo.
Actividad de cierre
1) Analicen y resuelvan las siguientes situaciones:
a) Se quiere construir un supermercado que esté a la misma distancia de una farmacia (f), una estación de servicio (e) y una clínica (c), tal como se ve en la figura abajo. ¿A dónde debe estar ubicado exactamente el supermercado? ¿Qué concepto geométrico podrían utilizar para ubicarlo? ¿Por qué?
b) Si se quiere colocar un poste de luz en un punto que esté a igual distancia de las calles que rodean la plaza. El gráfico que representa la situación es el siguiente:
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
Webgrafía recomendada
Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo