Interpretación de relaciones entre datos e incógnitas a través de representaciones concretas y gráficas en relación con el reconocimiento de cuadrados.
Muchas veces, los alumnos tienen dificultades para reconocer figuras porque su identificación requiere que éstas sean despojadas de imágenes que las esconden. La actividad que le presentamos en esta propuesta apunta a trabajar con los alumnos del primer ciclo el reconocimiento de cuadrados construidos y trazados en distintas posiciones y 'escondidos' en otras figuras, y avanzar en el uso de algunas de las propiedades que los caracterizan.
Para realizar esta actividad se requiere que cada alumno disponga de hojas lisas y algunos fósforos.
Primero se les entrega a los alumnos el siguiente Modelo dibujado en papel de calcar y se les pide que construyan sobre la hoja lisa una figura como la del modelo usando los fósforos, sin partirlos ni encimarlos (es imprescindible que las medidas del modelo coincidan con el tamaño de los fósforos utilizados).
Luego se les plantea la siguiente pregunta:
¿Cuántos cuadrados hay en la figura que armaron?
Por el momento, el docente sólo consigna los resultados dados por los alumnos. Éstos pueden utilizar el
modelo dibujado en papel de calcar para superponerlo al que construyeron con los fósforos y verificar si la
construcción es correcta.
Con este trabajo, lo que se intenta es lograr que los alumnos puedan identificar que en el modelo hay cuadrados de distinto tamaño y encuentren el que está "escondido". Esto lo lograrán mediante algunas actividades de construcción y reconstrucción de la figura original cada vez (para todas las construcciones se pedirá que no queden fósforos que no sean lado de algún cuadrado).
A continuación, y partiendo siempre del modelo original, sugerimos dar a los alumnos las siguientes consignas:
Éstas son las figuras que los alumnos obtendrán si siguen las instrucciones correctamente:
Consiste en entregar a los alumnos un nuevo modelo en papel de calcar y pedirles que averigüen la cantidad de cuadrados que la componen. Se les da la posibilidad de recurrir o no a los fósforos para responder al problema planteado.
Les presentamos un tercer modelo para ser trabajado ahora sin el recurso de los fósforos. Una vez más la pregunta es cuántos cuadrados hay.
Sugerimos proponer también algunas construcciones y preguntas como éstas:
También se les pueden proponer preguntas que apunten a identificar cada uno de los cuadrados, dándoles como dato el número de cuadrados que esconde el modelo.
En esta actividad se podrá trabajar también la búsqueda de distintas formas de identificar cada cuadrado.
Por ejemplo, la figura que sigue esconde 23 cuadrados, encontralos y explicá cómo los encontraste.
Resultará interesante también presentarles modelos en los que los cuadrados no tengan sus lados alineados respecto del borde del papel.
La enseñanza usual de los contenidos geométricos está caracterizada por la ostensión. Es decir, se plantea la enseñanza a través de la observación por parte de los alumnos de las distintas formas geométricas, y siempre con la guía del maestro, que es quien las presenta y define. Subyace bajo este modo de enseñanza, la creencia de que se aprende por simple observación y por medio de las informaciones externas que se le brinden a un sujeto.
Desde esta concepción, bastaría entonces con que el maestro "muestre" un cuadrado, diga que tiene cuatro lados iguales, cuatro ángulos rectos y dos diagonales que se cortan perpendicularmente en el punto medio, para que un alumno se apropiara de ese conocimiento.
Desde la perspectiva de la didáctica de la matemática, en cambio, los conocimientos matemáticos deben aparecer como herramientas para resolver problemas. De este modo se promueve la construcción del sentido de esos conocimientos.
La construcción de un conocimiento matemático es sólo posible si se da en un medio de problemas en el que esos sujetos consigan poner en juego un conjunto de actividades intelectuales:
¿Qué significa que el conocimiento siempre debe aparecer como medio para resolver problemas? Se
puede ver a través de un ejemplo.
-Problema: "Dado un cuadrado dibujado sobre una hoja cuadriculada, copiarlo sobre otra hoja cuadriculada. Luego,
superponer ambos cuadrados para verificar si son iguales". El hecho de pedir la copia del cuadrado modelo fuerza
a realizar una anticipación de ciertas características de la figura, establecer ciertas relaciones,
identificar elementos, etcétera. Dicha anticipación implícita lleva al alumno a pensar que si
sigue esas acciones va a obtener ese cuadrado. La copia no sería posible si el alumno no realizara previamente
un análisis de la figura: cuántos "cuadraditos" tiene cada lado; cómo
"doblan" los lados, etcétera. De este modo, la resolución misma del problema lo enfrenta a
poner en juego su conocimiento para encontrar recursos que le permitan la reproducción, y por otro lado le
permite tomar conciencia, progresivamente, de la igualdad de los lados y los ángulos de esa figura. El pedido
de superposición posterior busca que sea la situación misma la que le demuestre al alumno la validez o
no de su producción. Si los cuadrados no coinciden, las reflexiones compartidas con la clase en torno a los
procedimientos utilizados podrán arrojar luz sobre los requisitos que habrá que tener en cuenta para
poder resolver este tipo de problemas.
Si en cambio se le diera al alumno el dibujo de un cuadrado y el maestro informara acerca de sus propiedades, quien estaría utilizando el conocimiento sería el maestro y no el alumno, que no tendría la posibilidad de poner a prueba sus conocimientos, modificarlos en función de lo que le devuelve la situación, explicitar y justificar sus procedimientos, etcétera.
En resumen, lo que la didáctica de la matemática propone es que la enseñanza de la geometría esté vinculada y organizada alrededor de los problemas. Por medio de la utilización de situaciones de aprendizaje propuestas por el docente -en las que el alumno deba tomar decisiones a partir de su conocimiento y, al mismo tiempo, validar su producción y sus afirmaciones-, los conocimientos se cargarán de sentido.
Esta sugerencia, destinada a acompañar las Propuestas "Construye tu tángram", "Cuadrados escondidos" y "Dictado de figuras", se dirige entonces a la enseñanza de algunos conocimientos geométricos, en particular sobre las figuras y los cuerpos.
En "Materiales para el alumno", podrán encontrar una serie de problemas con orientaciones para trabajarlos en el aula. Estos problemas buscan generar situaciones de comunicación e interpretación de indicaciones acerca de construcciones con diferentes figuras y cuerpos geométricos, y constituyen un inicio en el abordaje de las relaciones entre figuras y cuerpos.