Generalización de soluciones y resultados y elaboración de pruebas en Geometría.
La primera parte de la actividad seleccionada apunta a que los alumnos elaboren conjeturas y propongan pruebas que les permitan validarlas.
En este caso la demostración funciona como una herramienta que permite comprender por qué es verdadero un determinado enunciado, aceptado como tal a partir del trabajo sobre un dibujo.
Para ello se presenta un problema perteneciente a un contexto extramatemático cuya solución remite a la ecuación cartesiana de la circunferencia.
En la segunda parte se propone la generalización de la solución obtenida, lo que posibilita considerar a la circunferencia como un caso particular de elipse.
Un portón levadizo de forma rectangular tiene una movilidad que le permite pasar de una posición vertical a una posición horizontal, como se indica en el dibujo.
Los puntos medios de los lados laterales se deslizan por dos correderas de sustentación. ¿Qué forma geométrica tienen las correderas?
A partir del dibujo de las distintas posiciones de uno de los laterales del portón, se espera que los alumnos respondan que se trata de un cuarto de circunferencia.
En esta instancia es adecuado que el docente les solicite que prueben sus afirmaciones. La utilización de un gráfico cartesiano puede resultar un instrumento para tal propósito:
Se trata de determinar la propiedad común a las coordenadas de (x, y) del punto medio P, en todas las posibles posiciones.
La utilización del teorema de Pitágoras remite a la expresión x2 + y2 = IOPI2 , lo que permite asegurar que se trata de una circunferencia de radio OP. Resta entonces averiguar la longitud de este segmento.
Una posible estrategia consiste en construir un rectángulo como el siguiente:
En dicho rectángulo el punto de intersección de sus diagonales coincide con el punto medio P, a partir de lo cual es posible determinar que la longitud del radio de la circunferencia es l/2.
También es posible arribar a dicho valor a partir de la expresión de las coordenadas P como coordenadas del punto medio de un segmento (x = m/2 ; y = n/2) y su relación con la longitud del lado lateral del portón (m2 + n2 = l2)
Posteriormente puede preguntarse qué curva describen las distintas posiciones de P, si éste no se encuentra ubicado en el punto medio:
La relación existente entre los lados homólogos de los triángulos semejantes sombreados
permite determinar que se trata de una elipse ( 
/ b = x/a =>
x2 / a2 + y2 / b2 = 1).
A continuación puede volverse a la circunferencia a fin de considerarla como una elipse de excentricidad 1 (b
= a).