Tiro vertical y caída libre. Modelado numérico

Autor: Hernán Ferrari Responsable disciplinar: Silvia Blaustein Área disciplinar: Física Temática: Fuerzas sobre partículas. Dinámica. Nivel: Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Propósitos generales

Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades

Continuando con la resolución numérica de problemas de Física, en esta secuencia se plantea la resolución de problemas de encuentro y altura máxima para casos particulares de caídas libres y tiros verticales. Para ello, se introduce un nuevo algoritmo basado en el teorema de Bolzano, con el método de la bisectriz para poder resolver ecuaciones y hallar raíces de funciones numéricamente.

Objetivos de las actividades

Que los alumnos:

Actividad 1: Resolución de ecuaciones

El teorema de Bolzano constituye el fundamento teórico de los métodos de resolución aproximada de ecuaciones.

Si en un intervalo cerrado [a, b] resultan f(a) y f(b) de signo opuesto, hay (por lo menos) un valor c interior al intervalo en el cual se anula la función: f(c) = 0.

Utilizando el teorema de Bolzano se pueden resolver ecuaciones en forma aproximada y también hallar raíces de funciones. Con ayuda de la computadora se puede resolver una simple ecuación cuyo resultado analítico se conoce. Así, por ejemplo, en la ecuación  se sabe que su solución positiva es la raíz cuadrada de 2. Resolver esta ecuación es equivalente a resolver la ecuación o bien hallar las raíces de la función .

Esta función es continua en el intervalo [1, 2] y además f(1) = -1 y f(2) = 2, con lo cual el teorema de Bolzano asegura que existe un número c dentro del intervalo [1, 2] tal que la función se anula.

La idea es ir encerrando al valor c tomando valores cercanos xi dentro del intervalo [1, 2]. Si por casualidad se selecciona un xi tal que f(xi) = 0, ya se encontró entonces el valor c que se buscaba.

Si, en cambio, f(xi) ¹ 0, entonces hay que ver qué signo tiene f(xi). En este punto se reemplaza el intervalo original [1, 2] cambiando el extremo del intervalo donde la función tiene el mismo signo que f(xi ). Con símbolos esto se expresa de la siguiente manera:

si f(xi). f(a) > 0, entonces ambos tienen el mismo signo.

En cambio si f(xi). f(a) < 0, ambos tienen signos contrarios.

Supongan que es el caso f(xi). f(a) > 0, entonces se vuelve a tener un problema equivalente al inicial: “dada la función f(x)= x2 – 2, continua en el intervalo [xi, 2] y además f(xi) < 0 y f(2) = 2”, con lo cual nuevamente existe un valor en el que se anula la función pero ahora en el nuevo intervalo que es más “pequeño” que el inicial y por ello se va acorralando el valor donde se anula la función.

Método de la bisectriz para elegir xi

En principio, xi se puede elegir aleatoriamente tomando cualquier valor dentro del intervalo, pero se buscará un método para hacerlo lo más efectivo posible.

Si se toma un valor xi más cercano al número b y por lo tanto más alejado del número a y sucede lo que se supuso antes (f(xi). f(a) > 0), entonces es efectivo tomarlo más cercano a b, ya que el nuevo intervalo [xi, b] es más pequeño que si se toma el xi más cercano a a. Sin embargo, si la situación es la inversa y se cumple que f(xi). f(a) < 0 (signos opuestos), entonces el intervalo en el que se continúa buscando la raíz será el [a, xi], con lo cual la elección es poco efectiva, pues al haber tomado el xi más cercano a b, el intervalo [a, xi] es mayor que si se hubiera tomado el xi más cercano a a.

De esta manera, la solución salomónica es elegir un xi que esté a la misma distancia de ambos extremos, y este valor es el que se conoce como el promedio

xi =  y que geométricamente se llama bisectriz del segmento .

Ahora, se hallará la raíz deseada con ayuda del programa Scilab. Para ello se utilizará un tipo de ciclo diferente, dado que esta vez no se sabe cuántos pasos hay que realizar en el ciclo. De esta forma, el ciclo será un Mientras (while) se cumple una condición, se repetirá lo que está dentro del ciclo. La condición que hará que se repita el ciclo es que la función en el punto c esté alejada de cero, en otras palabras: mientras f(c) sea mayor (en valor absoluto) que un número pequeño cercano a cero, se repetirá el ciclo para acercarse más a la raíz buscada.

-->a=1;

-->b=2;

-->c=(a+b)/2;

-->while abs(c*c-2) > 0.00000001

-->     if (a*a - 2) * (c*c - 2) >0

-->               a=c;

-->     else

-->               b=c;

-->     end

-->     c=(a+b)/2;

-->end

-->c

 c  = 1.4142136 

1. Resuelvan numéricamente la ecuación . Como ambas funciones son continuas en el intervalo [0, 1] y en x = 0 el lado izquierdo de la ecuación es igual a cero y en x = 1 el lado izquierdo da como resultado 2, entonces en el intervalo [0, 1] hay una solución a la ecuación planteada.

Tiro vertical Actividad 1

Actividad 2: Altura máxima en un tiro vertical

1. Un jugador de béisbol profesional puede arrojar una pelota de béisbol con una velocidad inicial que no supera los () m/s. Si arroja la pelota en dirección vertical:


a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?


b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a su altura máxima?


c) Resuelvan el problema analíticamente y numéricamente. En ambos casos consideren que cuando la pelota está en su altura máxima, su velocidad es cero.


d) Para resolver el problema numéricamente, vean primero la Actividad 2 de la secuencia Fuerzas. Luego, en el intervalo de tiempo donde la velocidad cambia de signo, utilicen el método de la bisectriz para hallar un valor más preciso del tiempo en que alcanza la altura máxima.


e) Realicen gráficos de la posición y la velocidad en función del tiempo para ambos tipos de soluciones.


f) Realicen un informe detallado de todos los pasos realizados en esta actividad en un procesador de textos. Incluyan los programas y los gráficos elaborados.


Tiro vertical Actividad 2

Actividad 3: Un tiro vertical y un movimiento rectilíneo uniforme. Problema de encuentro

1. En forma simultánea, se arroja una piedra en dirección vertical con una velocidad inicial de 33 m/s junto con un globo con helio en el que la fuerza de empuje anula la fuerza peso. Por esta razón, la fuerza neta sobre el globo es cero y se moverá con un movimiento rectilíneo uniforme. Si el globo se lanza con una velocidad inicial vertical de 7,3 m/s (recuerden que será constante):


a) ¿Cuál es la altura en la que se encuentran la piedra y el globo?


b) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se encuentran?


c) Resuelvan el problema analíticamente y numéricamente. En ambos casos consideren que, cuando se encuentran, la posición de la piedra y del globo son iguales.


d) Realicen gráficos de la posición y la velocidad en función del tiempo para ambos tipos de soluciones.


e) Realicen un informe detallado de todos los pasos realizados en esta actividad en un procesador de textos. Incluyan los programas y los gráficos elaborados.


Tiro vertical  Actividad 3