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Interpretación de conceptos y relaciones en distintos marcos (geométrico, numérico, algebraico, gráfico).

Propósitos y fundamentación

La siguiente secuencia ¹ ha sido diseñada con el propósito de que los alumnos analicen las posibilidades de solución de un sistema de ecuaciones y aborden el estudio de la naturaleza de las raíces de las ecuaciones de segundo grado por medio de la puesta en funcionamiento de conocimientos pertenecientes a diferentes marcos (geométrico, algebraico gráfico y numérico). También les permite determinar la fórmula para la resolución de estas ecuaciones.

Durante la primera etapa se propicia el trabajo de la noción de número irracional en un contexto que resulta familiar a los alumnos: áreas y perímetros de rectángulos. Asimismo, es posible abordar la relación entre las áreas de los rectángulos de perímetro fijo.

Desarrollo

Primera parte

Dados dos números positivos s y p, busquen un rectángulo de perímetro 2s cm y área p cm² para los siguientes valores de s y p:

1. s = 15 y p = 36
2. s = 41 y p = 402
3. s = 39 y p = 402

A partir del enunciado anterior, en un comienzo, resulta conveniente organizar la clase de modo tal que puedan formarse al menos seis grupos de alumnos, a fin de que cada grupo reciba un par de valores y por lo menos dos grupos distintos trabajen con el mismo par. Esto permitirá, durante la puesta en común la confrontación de procedimientos y resultados por parte de cada grupo, para continuar luego con la elaboración de conclusiones en conjunto y el reconocimiento, por parte del docente, de los nuevos conocimientos enseñados.

Los valores de s y p han sido seleccionados de modo tal que el problema tenga una solución entera (a); una solución irracional (b) y que no tenga solución (c). Por otra parte, la elección de valores enteros se realizó a fin de facilitar la tarea de los alumnos, en el sentido de que la complejización del cálculo no desvíe el objetivo central del problema.

La respuesta al inciso a puede lograrse por medio de muy pocos intentos numéricos (tanteo). Es decir, buscar valores de x e y tales que su suma sea 15, calcular su producto y compararlo con 36.
Para resolver el inciso b, los alumnos deberán formular o reformular el problema en el marco algebraico (2x + 2y = 2s; x . y = p o bien, x + y = s; x . y = p).

Después de una etapa de familiarización que permita que los alumnos se den cuenta que no es posible encontrar la solución por tanteo, pueden desplegar distintos procedimientos, como por ejemplo, dibujar varios rectángulos de perímetro 41 y calcular su área, u organizar sus resultados en una tabla de cuatro columnas: x, y, x + y, x . y ; buscando el valor 402 en la última columna. Pronto constatarán que no es posible encontrar ese número.

Si los alumnos trabajan únicamente con valores enteros de x y de y; pueden pensar que el problema no tiene solución, dado que en este caso no es posible encontrar valores que verifiquen las condiciones del problema. Resultaría necesario que el profesor propicie el trabajo con números decimales a partir de preguntas tales como: "¿existe algún rectángulo tal que las medidas de sus lados estén comprendidas entre los pares considerados?". Las sucesivas aproximaciones decimales permitirán concluir que no es posible "llegar exactamente a 402", instancia adecuada para introducir (o profundizar) la noción intuitiva de número irracional. La utilización de calculadoras científicas facilita la tarea de los alumnos.

También es posible que los alumnos dibujen varios rectángulos de perímetro 41 por el método de compensación, instancia adecuada para trabajar la propiedad: entre todos los rectángulos de igual perímetro, el cuadrado es el de mayor área.

Asimismo pueden representar gráficamente ambas ecuaciones e intentar aproximarse a las condiciones bajo las cuales ambas gráficas de intersectan. De no suceder, resultaría interesante proponer este trabajo.
En el caso del inciso c, los intentos numéricos y gráficos no permiten que los alumnos determinen el rectángulo. Esta vez, no hay puntos comunes en las gráficas de ambas ecuaciones: todos los pares que verifican x + y = 39 son menores que 402, incluso en el caso del cuadrado.

Resultaría conveniente preguntar si es posible encontrar un rectángulo de igual perímetro que el de un cuadrado y cuya área sea mayor.

l - h		Puede suceder que algunos alumnos realicen un estudio geométrico a partir del dibujo de un cuadrado (lado l) que se deforme en un rectángulo de igual perímetro (lados l + h y l - h), que comparen las áreas y establezcan que cuando se pasa al rectángulo, ésta decrece.
	l + h

Asimismo es probable que se valgan de un razonamiento algebraico que conduzca a concluir que, al pasar del cuadrado al rectángulo, el área del cuadrado l ² se convierte l ² -h ² lo que posibilita interpretar que el problema no tiene solución, dado que ningún rectángulo cumple las condiciones establecidas en este inciso.

Segunda parte

1. ¿Qué condiciones deben cumplir los números s y p para que se pueda encontrar un rectángulo de perímetro 2s cm y área p cm²?
2. ¿Para qué valores de s y p el sistema de ecuaciones x + y = s; x . y = p tiene solución única, para qué valores tiene soluciones reales y distintas y para qué valores no tiene solución real?

En este caso puede resultar adecuado un primer momento de trabajo individual seguido de un trabajo grupal en el que se discutirán los resultados logrados y los procedimientos utilizados para pasar finalmente a una puesta en común en la que cada grupo exponga sus conclusiones y se expliciten los nuevos conocimientos.

Para responder al inciso a, es posible que algunos alumnos realicen una representación gráfica, como en el problema anterior. Sin embargo, el hecho de tener que considerar un número elevado de casos, marcará las limitaciones del método gráfico remitiendo a un planteo más general. Se hace necesario entonces utilizar un conocimiento trabajado en la primera etapa (de todos los rectángulos de igual perímetro el cuadrado es el de mayor área) y sistematizarlo de la siguiente manera:

• considerar un cuadrado de lado l = s/2; su área estará dada por l ² = (s/2)²
• todo rectángulo de igual perímetro tiene un área que está dada por (l + h) . (l - h) y es siempre menor que la del cuadrado ((l + h) (l - h) < l ² )
• comparar el área del cuadrado con p: si p es mayor que (s/2)² , el sistema no tiene solución; si p es menor que (s/2)² , existe una solución y si p es igual a (s/2)² , la solución es el cuadrado.
  Surge así un nuevo conocimiento:
  • El conjunto de pares (s,p) tales que s > 0, p > 0 y p = s ² /4 marca el límite entre los pares para los cuales existe solución y aquellos para los que no existe.
  • El sistema de ecuaciones x + y = s (s > 0); x . y = p (p > 0) tiene solución si p £ s ² /4 y no tiene solución si p > s ² /4.
    La resolución del inciso b puede abordarse desde los marcos gráfico y algebraico, debiéndose extender a todos los valores s y p (positivos, negativos o nulos), el criterio por el cual tiene solución el sistema planteado (el marco geométrico sólo tiene sentido para valores positivos de s y p). El trabajo gráfico implica considerar todo el plano.
    
    El tratamiento algebraico permite expresar x e y de la siguiente manera: x = s/2 + h e y = s/2 - h, y posteriormente reemplazarlas en x . y = p. Esta ecuación se convierte en s ² /4 - h = p, o bien h ² = s ² /4 - p.
    Para que el sistema tenga solución, el segundo miembro de esta última ecuación deberá ser positivo o nulo (s ² /4 - p ³ 0). Esta condición es válida para todos los valores de s y de p, puesto que el signo de s no interviene en la condición, y si p es negativo se verifica automáticamente.

En este momento es conveniente designar las raíces de la ecuación de la siguiente manera : h = + o h = - , y obtener x = s/2 + e y = s/2 -
Y estudiar entonces la noción de ecuación de segundo grado; su resolución; la naturaleza de sus raíces en función del signo del discriminante y las propiedades de estas últimas.

Este problema también posibilita abordar algunas nociones de análisis matemático tales como la de serie numérica, la convergencia de series y el acercamiento a números reales no racionales desde este marco.

1. Esta secuencia ha sido tomada de Douady, R. "Ingeniería Didáctica y evolución de la relación con el saber en las Matemáticas de Collége-Seconde", en La enseñanza de las matemáticas: puntos de referencia entre los saberes, los programas y las prácticas. Topiques éditions, Francia, 1996.