Ilustración: Mariano Grynberg
Ilustración: Mariano Grynberg
Modelización de situaciones problemáticas: pertinencia del modelo de proporcionalidad.
Esta actividad está pensada para provocar entre los alumnos la discusión acerca de la utilidad del modelo de proporcionalidad directa en la resolución de situaciones de ofertas. Les propondremos el análisis de una situación en la que el uso inadecuado de la proporcionalidad provoca equívocos que ellos tendrán que resolver tomando decisiones y justificándolas. Los equívocos surgirán si los alumnos no detectan la ausencia de las regularidades que caracterizan a la proporcionalidad directa y, en consecuencia, usan esas regularidades como argumento implícito para la justificación de las respuestas. En esta situación se evidencia que la condición "a más, más..." es necesaria pero no suficiente para que una relación de cantidades sea de proporcionalidad directa y que, del mismo modo, la condición "al doble, el doble..." es necesaria pero no suficiente si no se cumple para todos los pares de elementos de la relación.
Sugerimos proponer a los alumnos un trabajo que implique la discusión de un problema aritmético con datos y respuestas en la que ellos tengan que poner en relación los datos entre sí y eventualmente agregar nuevos, modificando las condiciones iniciales para ajustarlas a las respuestas dadas.
Para presentar esta actividad podemos valernos de un dibujo de la escena en la heladería descripta en el enunciado o realizar con los alumnos una dramatización de la situación.
Lorena fue a comprar 3/4 kg de helado. En la heladería estaba expuesto un cartel con los precios:
| Lista de precios | |
| 1 kilo 1/2 kilo 1/4 kilo |
$ 10 $ 6 $ 3 |
Lorena había llevado $ 7,50. Sin embargo, el heladero le dijo que debía pagar $ 9.
Explicá:
¿Por qué se produjo la confusión?
¿Por qué Lorena pensó que debía pagar $ 7,50?
¿Cómo habrá explicado el heladero de dónde obtuvo el valor de $ 9?
Modificá alguno de los datos del problema para que no se produzca la confusión y explicá cómo lo pensaste.
En principio, proponemos a los alumnos que confronten los argumentos teniendo en cuenta que los $ 9 que solicita el heladero pueden obtenerse triplicando el precio de un cuarto kilo o bien sumando el precio de un medio kilo y el de un cuarto kilo. Podrán concluir que si la relación fuera de proporcionalidad directa, el kilogramo de helado hubiera costado $ 12 y entonces podrán advertir que, en este caso, el precio no es directamente proporcional a la cantidad de helado.
Para obtener una respuesta a la última pregunta requeriremos a los alumnos que transformen la situación de manera que sea proporcionalidad directa. Una manera posible sería la de incluir, como dato nuevo, que la heladería ha suspendido todas las ofertas y los precios han quedado en $ 12 el kilo, $ 6 el medio kilo y $ 3 el cuarto kilo; entonces y los 3/4 kilos costarían $ 9. Otro cambio en las condiciones que pueden realizar es la de la proposición de una oferta independiente del peso de la compra: los nuevos precios serían de $ 10, $ 5 y $ 2,50 para el kilo, el medio kilo y el cuarto kilo, respectivamente, y los 3/4 kilos costarían entonces $ 7,50.
Será interesante plantearles otras preguntas para que los alumnos profundicen sobre la cuestión. Por ejemplo: ¿Por qué creen que el heladero puso en oferta el kilo de helado y no el medio kilo o el cuarto kilo?
Para que el trabajo se centre en la proporcionalidad y no en las dificultades numéricas, si el nivel de los alumnos lo requiere, es posible proponerles el mismo problema, con precios y cantidades de helado convenientes, que nos permitan trabajar, por ejemplo, sólo con números naturales. En ese caso el cartel en base al que trabajaremos puede ser como el A o el B:
| A | B | C | |||||
| Lista de precios | Lista de precios | Lista de precios | |||||
| 1 kilo 1/2 kilo 1/4 kilo |
$ 8 $ 5 $ 3 |
1 kilo 1/2 kilo 1/4 kilo |
$ 12 $ 7 $ 4 |
1 kilo 1/2 kilo 1/4 kilo |
$ 10 $ 5,5 $ 3,25 |
||
En el primero es importante guiar a los alumnos para que adviertan que tres cuartos de kilo costarían igual o más que el kilo, según de qué manera se conformen los precios; y que en ambos casos se pueden obtener tres valores diferentes para los tres cuartos kilos.
Si, por el curso en el que estamos trabajando, buscamos operar con decimales, podemos trabajar, por ejemplo, en base a los precios del cartel C.
Si, por el contrario, nos interesa operar sólo con valores enteros, les plantearíamos que la oferta corresponde a envases de 1, 3 y 5 litros de helado.
También podemos proponerles a los alumnos reflexionar acerca de la conveniencia de las ofertas que se presentan en los comercios y de la pertinencia del modelo de proporcionalidad para analizar estas situaciones. Se puede discutir entre todos si es conveniente comprar productos en envases grandes o si, en ocasiones, pueden resultar más caros que si los compramos en envases más pequeños.
A partir del trabajo propuesto podemos encarar, la búsqueda de estrategias para distinguir problemas que son de proporcionalidad de aquellos que no lo son. Este aspecto se trata en la Propuesta N° 7.
Coincidimos con el enfoque que señala que aprender matemática significa construir el sentido de los conocimientos; es decir, que el alumno entienda qué tipos de problemas puede resolver y cuáles no usando un determinado conocimiento.
Por eso nos parece interesante discutir con los alumnos cuándo el modelo de proporcionalidad directa sirve para resolver un problema y cuándo no. Es decir, cuáles son los datos que deben aparecer en una situación problemática para garantizar la posibilidad de utilizar proporcionalidad directa para resolverla.
En general, cuando los alumnos resuelven un problema dan por supuesta la existencia de una constante de proporcionalidad. Un ejemplo de esto se da en los problemas del tipo "Si se sabe que con $ 3 se compraron 2 kilos de naranjas, ¿cuánto costarán 5 kilos de naranjas?". Los alumnos dan por obvio que 1 kilo de naranjas debe costar la mitad de lo que costaron 2 kilos, es decir, $1,5. Lo que no tienen en cuenta es que podría tratarse de un problema de "oferta", para cuya solución no es pertinente el modelo de proporcionalidad directa.
Otro ejemplo donde se pone en evidencia lo dicho son los problemas del tipo "si sabemos que un automóvil tardó una hora en recorrer 50 kilómetros, ¿cuánto tardará en recorrer 150 km?". Los alumnos dan por supuesto que la velocidad de manejo se conserva. Este dato no aparece en el problema; es decir que los alumnos consideran más datos que los que se brindan en el enunciado.
Nos parece importante entonces proponer actividades que pongan de relieve este aspecto central de la proporcionalidad, que no sólo atiende a la resolución de problemas sino al análisis de los datos necesarios para poder utilizar el concepto de proporcionalidad directa como modelo de resolución.
Además, para los problemas cuya resolución no sea posible con proporcionalidad directa sugerimos preguntarles a los alumnos si se puede agregar algún dato que permita resolverlos con ese concepto.