Cazando Grillos

Enigmas geométricos planteados a partir de una situación de juego.

Dos biólogos, la Dra. Grilly y el Dr. Cricri, están estudiando desde hace meses las costumbres de una especie de grillos. Han podido localizar un grillo de este tipo en una parcela de campo en la pampa húmeda, y observar que el grillo sale de su madriguera por la noche para alimentarse de alfalfa y regresa de día. La madriguera es un agujero en la tierra y los científicos discuten respecto de la ubicación exacta del grillo dentro de ella, pues se manejan con cierto grado de indeterminación debido a irregularidades del terreno y a perturbaciones sonoras.

Los dos biólogos analizan mediciones vinculadas con la ubicación del grillo en su madriguera. Cada uno enuncia una hipótesis: la Dra. Grilly afirma que está en el interior del rectángulo XYZW, de 1,5 m por 0,9 m. El Dr. Cricri, por su parte, estima su posición en el interior de una elipse inscripta en el rectángulo XYZW, como indica la siguiente figura:

Explicá, utilizando argumentos vinculados con figuras geométricas, por qué la elipse representada en el dibujo está bien definida.
Si aceptamos que la afirmación de la Dra. Grilly es correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la afirmación del Dr. Cricri sea también correcta? Describí los pasos que seguiste.
Para que realices tu propia experiencia te proponemos organizar dos simulaciones que te permitirán estimar la probabilidad teórica que antes calculaste:
- Proponé una simulación utilizando lentejas y el dibujo anterior y pautá los pasos a seguir. (Tené en cuenta que las lentejas representan el grillo y su posición sobre el gráfico, la ubicación en la madriguera.)
- Proponé una simulación por computadora y pautá los pasos a seguir.
Llevá a cabo los experimentos que propusiste.
Exponé las conclusiones a las que llegues comparando los resultados obtenidos en ambos casos.

Referencias curriculares

Las actividades corresponden a los siguientes contenidos:

Contenidos conceptuales

Cónicas como lugar geométrico. Ecuaciones de cónicas.
Experimentos aleatorios.

Contenidos procedimentales

Cálculo de probabilidades.
Simulación.
Creación y desarrollo de estrategias para la resolución de problemas.

Materiales

Cada grupo o alumno (según lo decida el docente) deberá contar con:

hojas de papel de tamaño suficientemente grande para realizar la experiencia,
lentejas,
hilo (si desea construir la elipse por el método del jardinero).
Computadora. (Se puede realizar la actividad prescindiendo de la computadora, en este caso se simulará la situación solamente con lentejas.)

Tiempo estimado

Un módulo de 80 minutos. (Sin embargo, el tiempo dependerá de la costumbre que tengan los alumnos para resolver situaciones problemáticas.)

Comentarios y sugerencias

Se trata de una situación problemática que permite enseñar conceptos geométricos referidos a las cónicas, combinándolos con teoría de probabilidades. Además, propone la creación y el desarrollo de experiencias de simulación.
Podés proponerles a los alumnos que saquen fotos o filmen las distintas experiencias y luego editen un video con Movie Maker (programa de edición de videos instalado en los equipos). Si no cuentan con una cámara filmadora o de fotos, podrán utilizar las webcams que incluyen los equipos o un celular con cámara de fotos. Los alumnos deberán organizarse en grupos y distribuir los roles y tareas para realizar un trabajo colaborativo. Podrán compartir los archivos y documentos y alojarlos en la red de la escuela o en alguna de las máquinas.
Se combinan el análisis teórico de los datos y la simulación. Para el cálculo teórico de la probabilidad de que la respuesta del Dr. Cricri sea correcta, se hace indispensable calcular el área de la elipse. La propuesta con lentejas requiere el trazado de una cónica, mientras que en el tratamiento informático de la experiencia se utiliza la ecuación analítica de la misma.
La propuesta didáctica para estos contenidos (cónicas, probabilidades y simulación), que ya han sido estudiados de manera separada, permite lograr una visión integradora de la matemática y muestra los aportes de la disciplina para la resolución de situaciones problemáticas de cualquier tipo.
Se proponen dos alternativas, considerando los recursos disponibles. Uno de estos experimentos utiliza únicamente lentejas, lo cual permite su realización en el aula; el otro usa recursos informáticos, como la planilla de cálculo, o bien, en caso de que los alumnos posean nociones de programación, el diseño de un programa sencillo. Para ello quizás resulte oportuno utilizar el programa Euler Math Toolbox , instalado en los dispositivos de los alumnos y en las notebooks de los docentes.
En una etapa posterior, puede pensarse en un planteo de geometría tridimensional que use cuerpos geométricos; por ejemplo, un elipsoide inscripto en un paralelepípedo.
También es posible utilizar argumentos de análisis matemático para el cálculo de la probabilidad de que el Dr. Cricri haya acertado, ya que es posible calcular las áreas mediante integrales definidas.
Otra modificación posible en la actividad puede consistir en un cambio de las dimensiones del rectángulo. Será necesario, entonces, un cambio de escala para poder realizar la experimentación.
Cabe señalar que en los dispositivos de los alumnos y en las notebooks de los docentes hay instalados graficadores de funciones matemáticas, realizadores de cálculos científicos y sistemas de geometría dinámica, que pueden resultar de utilidad para esta actividad.

Adaptaciones de las actividades para grados superiores

Las actividades propuestas a partir de la situación problemática de las hipótesis sobre la ubicación del grillo pueden adaptarse de varias maneras.

Una posible adaptación para la afirmación del Dr. Grilly es reemplazar la elipse por una circunferencia, partiendo de un cuadrado, en lugar de partir de un rectángulo. En este caso, la pregunta referida a la unicidad de la elipse apela a la definición de circunferencia y a las propiedades de los cuadrados.

La actividad así planteada permite calcular aproximadamente el número p, a partir de las simulaciones propuestas. La probabilidad p de que un punto del cuadrado, generado al azar, esté en el círculo es igual al cociente entre el área del círculo y la del cuadrado:

Generando una cantidad suficientemente grande de pares ordenados es posible obtener un valor aproximado para el número p.

Otra posible adaptación para el Tercer Ciclo de la EGB, si no se desea abordar el tema de las cónicas, puede ser partir de otras figuras geométricas. Por ejemplo, reemplazar a la elipse por un rombo:

Esta modificación puede conducir a un interesante tratamiento de las propiedades de los cuadriláteros. Es posible incluso cambiar la posición de los vértices del cuadrilátero interior para generar nuevos problemas.