Teorema de Thales
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Autores: Damián Gibellieri, Sebastián Vera y Javier Peña
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática: Teorema de Thales y aplicaciones
Nivel: Secundario, ciclo básico
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En estas actividades los alumnos van a interpretar las condiciones de aplicación del teorema de Thales, e indagar y validar propiedades asociadas. Trabajarán con la proporcionalidad entre segmentos, así como también con su división, utilizando como herramienta geométrica el programa Geogebra.
Objetivo de las actividades
Que los alumnos:
Trabajen la proporcionalidad en geometría.
Apliquen el teorema de Thales en el cálculo de longitudes de segmentos.
Fomenten la investigación matemática particular del alumnado como medio de aprendizaje.
Actividad 1
1) En grupo de dos o tres alumnos, lean el siguiente relato y luego contesten las preguntas:
Thales fue un gran filósofo y matemático griego. Cuenta la leyenda que en su recorrido por el mediterráneo se encontró con un faraón de Egipto que lo invitó a pasar una temporada en su palacio. Juntos pasaban largos días hablando de Matemática y Astronomía. Una mañana, haciendo una recorrida por el lugar, pasaron por la pirámide de Keops y el faraón le preguntó:
—¿Cómo podríamos averiguar la altura de esta gran pirámide?
Thales luego de pensar un largo rato le respondió:
—Busquemos una vara y dibujemos un círculo cuyo radio sea igual a la longitud de la vara.
Así, dibujaron el círculo y ubicaron la vara en su centro.
—Ahora hay que esperar —dijo el gran filósofo.
—¿Mucho? —preguntó el faraón.
—Unas cuantas horas –respondió Thales. Y cuando la sombra de la varilla comenzó a tocar el borde del círculo, dijo:
—Ya estamos casi por lograrlo. —Así fue que en el instante en que la sombra de la vara tocó el borde del círculo, el gran matemático dijo:
—¡Listo! Ahora para saber la altura de la pirámide, ¡solo debemos medir su sombra!
a) Intenten describir mediante un dibujo la técnica que utilizó Thales para medir la altura de la pirámide.
b) ¿Por qué Thales llegó a la conclusión de que en un instante determinado la sombra de la pirámide sería igual a su altura? ¿Utilizó alguna propiedad matemática? (Intenten buscar triángulos semejantes). Pueden repasar las propiedades de los triángulos semejantes en el siguiente link.
c) Thales también es conocido por el teorema que lleva su nombre, y que se puede relacionar con triángulos semejantes. Ingresen en los siguientes links, en los cuales podrán trabajar y analizar el teorema de Thales:
Semejanza – aplicaciones del teorema de Thales
2) En el siguiente link podrán ver un video basado en la canción compuesta por Les Luthiers sobre el teorema de Thales.
a) A partir de lo analizado en los links del ítem c), redacten con sus palabras el teorema de Thales. Expliquen cómo aplicarían este teorema para calcular la altura de la pirámide del relato.
b) Apliquen el método utilizado por Thales para calcular la altura del mástil de la escuela.
Actividad 2
1) En las siguientes figuras hallen en cada caso el valor del segmento X.
Actividad 3
1) Si en la siguiente figura se tienen los siguientes datos:
QP// NP = 10 cm, MK = 12 cm, KO = 6c m y PO = 6 cm.
a) ¿Cuál de estas medidas pertenece a la medida del segmento QJ? Justifiquen su respuesta.
- 3,75 cm
- 1,5 cm
- 1,875 cm
- 7,5 cm
b) En la siguiente figura los puntos de intersección: A, B y C; y E, B y D están alineados. Si además el segmento AE es paralelo a CD. Y AE = 24 cm, CD = 10 cm, AB = 12 cm y EB = 18 cm. ¿Cuánto mide el segmento BD?
Actividad de cierre
El teorema de Thales también se puede aplicar para dividir un segmento en partes iguales sin tener que medirlo. Veamos cómo aplicarlo utilizando el programa Geogebra instalado en sus equipos portátiles.
a) Dibujen dos segmentos. Divídanlo en tres partes iguales. La siguiente figura les ayudará a seguir los pasos.
- Primero dibujen un segmento AB. Luego tracen una semirrecta b que parta del punto A.
- Sobre la semirrecta b dibujen tres círculos de la misma longitud. Para mayor comodidad dibujen el primer círculo en el punto A, tomando la longitud que ustedes quieran.
- Luego busquen el punto de intersección entre el círculo y la semirrecta b, les quedará marcado un punto (G en la figura) ese será su nuevo centro. Repitan este procedimiento dos veces más.
- Unan el último punto de intersección (H en la figura), con el punto B.
- Por ultimo, a partir de cada punto que utilizaron como centro (A, G y F en la figura), tracen una recta paralela al segmento HB que obtuvieron en el paso anterior. Así tendrás una división perfecta de un segmento en tres partes.
- Apliquen el mismo método para dividir el segmento en:
5 partes iguales.
7 partes iguales.
11 partes iguales.
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
Teorema de Thales, Les Luthiers
Webgrafía recomendada
Carnaval de Matemáticas (y 4): El teorema de Thales y su historia aderezados por Les Luthiers