Sistemas de ecuaciones, parte II

	Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Ecuaciones Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Propósitos generales

Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades

En esta secuencia les proponemos que realicen simulaciones animadas de fenómenos físicos relacionados con sistemas de ecuaciones mixtos (lineal y cuadrática) y sistemas de ecuaciones cuadráticas

Objetivos de las actividades

Promover el uso de programas que permitan realizar animaciones de modelos matemáticos y de programas graficadores; la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares; el trabajo colaborativo; la realización en conjunto de la propuesta; la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Actividad 1

1) Abran el programa Modellus, y resuelvan la siguiente situación:

Sofía empieza a correr por una bicisenda hasta adquirir una velocidad constante de 6 m/s, que logra mantener. Pone en marcha su cronómetro y en ese mismo instante, su vecina, situada 45 m detrás de ella, arranca su automóvil con una velocidad inicial de 3 m/s y acelera, y mantiene una aceleración constante de 0,8 m/s². ¿Cuántos segundos marcaba el cronómetro cuando el automóvil alcanzó a Sofía? ¿En qué posición estaban cuando se encontraron? ¿Cuántos metros había corrido Sofía hasta ese instante?

En “Sistema de ecuaciones, parte I”, vimos que la ecuación que determina la posición de un cuerpo que marcha con velocidad constante (MRU), en función del tiempo, es: p(t) = p₀ + v • (t – t₀).

Por otra parte, la ecuación que determina la posición de un cuerpo que marcha con aceleración constante (MRUV), en función del tiempo, es:

p(t) = p₀ + v₀ • (t – t₀) + 0,5 • a • (t – t₀)²

p₀ es la posición inicial;
v es la velocidad constante;
t es el tiempo;
t₀ es el tiempo inicial;
v₀ es la velocidad inicial;
y a es la aceleración constante.

¿Cuál es la ecuación que corresponde a Sofía? ¿Y a la vecina que va en el automóvil?

2) Discútanlas y anótenlas en la ventana Modelo Matemático, cuidando que no se repitan los nombres de las variables dependientes. Para ello, llamen p1 a la posición de Sofía, y p2, a la del automóvil.

Recuerden no dejar espacios y usar * como símbolo de multiplicar.

Para ingresar las potencias pueden usar ^ (por ejemplo, para introducir 3t² pueden escribir 3 * t ^ 2), o bien hacer clic en el ícono que se ve al costado.

• En la pestaña Variable Independiente, establezcan para t un mínimo de 0 y un máximo de 20.
• Trabajen como hicieron en la Parte I con las pestañas Gráfico y Tabla (revisen que aparezcan todas las variables: t, p1 y p2, y elijan los colores que prefieran).
• Introduzcan una corredora con estos datos:

Repitan los pasos para introducir el automóvil de la vecina con estos datos:

• Coloquen los dibujitos debajo del gráfico como se muestra a continuación:

• Ejecuten la animación.
• En la ventana Notas, escriban un breve informe de la situación y redacten las respuestas a las preguntas planteadas en el enunciado.
• Guarden el archivo con el nombre “Corredora_auto_caso_1”.
• Resuelvan ‘a mano’ el sistema de ecuaciones correspondiente y comprueben que la solución coincida con la que brinda el gráfico.

Actividad 2

1) Abran el archivo que guardaron al finalizar la actividad 1 y hagan las modificaciones necesarias para producir la animación de esta nueva situación:

En el instante en que la vecina de Sofía arrancó su automóvil, otra corredora (Paula), que se encontraba a 100 m del vehículo, se acercaba hacia él corriendo con una velocidad constante de 3 m/s. ¿Cuánto tardó el auto en cruzarse con Paula? ¿En qué posición estaban cuando se encontraron? ¿Cuántos metros había corrido Paula desde que arrancó el auto hasta que se cruzaron?

• Ejecuten la animación.
• En la ventana Notas, describan la situación y redacten las respuestas a las preguntas planteadas en el enunciado.
• Guarden el archivo con el nombre “Corredora_auto_caso_2”.
• Resuelvan ‘a mano’ el sistema de ecuaciones correspondiente y comprueben que la solución coincida con la que brinda el gráfico.

Cierre de las actividades

• Accedan aquí y hagan doble clic sobre la actividad planteada con GeoGebra.
• Muevan los deslizadores a, b y c, que corresponden con los coeficientes de la ecuación cuadrática: y = a • x² + b • x + c, hasta que la parábola represente la situación planteada para el automóvil, para valores de x, pertenecientes al dominio válido.
• Muevan los deslizadores h, j y k, que corresponden con los coeficientes de la ecuación lineal: h • x + j • y = k, hasta que la recta represente la situación planteada para la corredora, para valores de x, pertenecientes al dominio válido.
• Verifiquen si las soluciones que encontraron con Modellus y ‘a mano’ coinciden con las que visualizan con GeoGebra.
• Guarden el archivo de GeoGebra en sus equipos y en el servidor.

Actividad 3

1) Abran el programa Modellus. La primera situación para resolver es la siguiente:

Se arroja una pelota hacia arriba en forma vertical, desde una altura de 80 cm del piso, con una velocidad inicial de 8 m/s.

Se vuelve a arrojar la pelota en idénticas condiciones y, en el mismo instante, se deja caer una manzana desde la altura máxima que alcanzó la pelota la primera vez.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿En qué momento se cruzan la pelota y la manzana? ¿A qué altura del piso lo hacen?

La ecuación que determina la altura (h) del objeto es:

h(t) = h₀ + v₀ • t + 0,5 • g • t²

donde

h₀ es la altura inicial;
v₀ es la velocidad inicial;
g es la aceleración constante con la que se mueve (aceleración de la gravedad), que se tomará como 10 m/s² y con signo negativo, ya que se considerará positivo el sentido contrario;
y t es el tiempo en segundos.

¿Cuáles son, entonces, las fórmulas que se ajustan al enunciado?
Discútanlas y anótenlas en la ventana Modelo Matemático, cuidando que no se repitan los nombres de las variables dependientes. Para ello, llamen hP a la altura de la pelota y hM a la de la manzana.

2) Trabajen de manera similar a como lo hicieron en las actividades 1 y 2, pero esta vez con los dibujitos de una pelota y una manzana.

Utilicen estos valores:

• Ejecuten la animación.
• En la ventana Notas, describan la situación y redacten las respuestas a las preguntas planteadas en el enunciado.
• Guarden el archivo con el nombre "Pelota y manzana”.
• Resuelvan ‘a mano’ el sistema de ecuaciones correspondiente, y comprueben que la solución coincida con la que brinda el gráfico.

La segunda situación para resolver es la siguiente:

Se vuelven a arrojar la pelota y la manzana en idénticas condiciones que antes y, en el mismo instante, se lanza una bola desde la misma altura que la pelota, pero con la mitad de velocidad inicial. ¿En qué momento se cruzan la manzana y la bola? ¿A qué altura del piso lo hacen? ¿En qué posición está la pelota en ese instante?

• Abran el archivo que guardaron con el nombre “Pelota y manzana” y, en la ventana Modelo Matemático, agreguen la ecuación que corresponde con la bola, llamando hB a su altura.

Elijan un color para su gráfico e incorporen el nuevo dibujo (pueden tomar el que se parece a una pelota de básquet) y ejecuten la animación.

• En la ventana Notas, redacten las respuestas a las preguntas planteadas en el enunciado.
• Guarden el archivo con el nombre “Pelota, manzana y bola”.
• Resuelvan ‘a mano’ el sistema de ecuaciones correspondiente con la manzana y la bola; y comprueben que la solución coincida con la que brinda el gráfico.

Además, muestren cómo resuelven “a mano” la última pregunta del enunciado.

Cierre de la actividad 3

1)Accedan aquí y hagan doble clic sobre la actividad planteada con GeoGebra.

2) Muevan los deslizadores a, b y c, que corresponden con los coeficientes de la ecuación cuadrática y = a • x² + b • x + c, hasta que la parábola represente la situación planteada para la pelota, para valores de x, pertenecientes al dominio válido.

3) Hagan lo mismo con los deslizadores d, e y f, que corresponden con los coeficientes de la ecuación y = d • x² + e • x + f, hasta que la parábola represente la situación planteada para la manzana, para valores de x, pertenecientes al dominio válido.

4) Por último, muevan los deslizadores g, h e i, que corresponden con los coeficientes de la ecuación y = g • x² + h • x + i, hasta que la parábola represente la situación planteada para la bola, para valores de x, pertenecientes al dominio válido.

5) Verifiquen si las soluciones que encontraron con Modellus y ‘a mano’ coinciden con las que visualizan con GeoGebra.

6) Guarden el archivo de GeoGebra en sus equipos y en el servidor.