Grados y radianes

	Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Radián Nivel: Secundario, ciclo orientado (escuelas técnicas) Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Propósitos generales

Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades

En esta secuencia se abordarán los siguientes temas: interpretación de la definición de radián; expresión de ángulos en grados y radianes; conversión; y el uso del programa GeoGebra.

Objetivos de las actividades

Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares.

Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Objetivos pedagógicos

Actividad 1

Pídanles a sus alumnos que se reúnan de a dos o de a tres para discutir ideas, aunque cada integrante trabajará con su equipo portátil.

Indíquenles que para realizar la actividad usarán el programa GeoGebra y el procesador de textos –para responder las preguntas que se formulan–. Deberán tener los dos programas abiertos.

1) Abran el procesador de textos y expliquen con sus palabras qué es un radián. Pueden buscar en Internet o en otras fuentes.

2) Ahora van a realizar una construcción que permita ver cómo se relacionan diversos arcos de una circunferencia con el radio. Sigan los pasos que se indican a continuación:

• Abran el programa GeoGebra, habiliten la vista de los ejes y de la cuadrícula.
• Marquen el punto de intersección entre los ejes y llámenlo O.
• Marquen un punto cualquiera sobre el eje x.
• Tracen una semirrecta de origen O que pase por el punto que marcaron.
• Hagan que el punto que marcaron no se vea.
• Marquen un punto cualquiera de la semirrecta y llámenlo P (comprueben que pueden deslizarlo sobre ella).
• Tracen una circunferencia de centro O que pase por P.
• Tracen el segmento OP y llámenlo Radio. Hagan que muestre su nombre y su valor, asígnenle un color que se destaque y denle mayor grosor.
• Marquen un punto cualquiera sobre la circunferencia y llámenlo C (comprueben que pueden deslizarlo sobre ella).
• Tracen la semirrecta de origen O que pase por C.
• Tracen el ángulo POC. Dejen el nombre α, píntenlo de algún color que les guste y hagan que muestre su nombre y su valor.
• Tracen el arco de centro O con extremos P y C. Llámenlo Arco, píntenlo de algún color que se destaque y hagan que muestre su nombre y su valor. Pueden hacerlo de mayor grosor.
• Inserten un texto que muestre la relación entre el arco y el radio. Para ello, escriban esto (pueden copiar y pegar):

“arco / radio =” + arco + ” / ” + radio + ” = ” + (arco / radio).

 3) Ya tienen todo listo. Muevan ahora el punto C para hacer variar el ángulo, y el punto P, para aumentar o disminuir el radio de la circunferencia. Observen con  atención lo que sucede y respondan estas preguntas debajo de la explicación que dieron en el punto 1:

a) Si el radio es 2, ¿para qué ángulo el arco también mide 2?

b) Si el radio es 3, ¿para qué ángulo el arco también mide 3?

c) ¿Y si el radio es 1?

d) ¿Cuántos grados mide un radián?

e) ¿Qué medida tiene el arco cuando el radio es 1 y el ángulo es de 180º?

f) ¿Cuántos grados mide el ángulo cuando el radio es 1 y el arco mide 2π?

4) Guarden ambos archivos con el nombre “Grados y radianes 1”.

Actividad 2

Indíquenles a sus alumnos que, de ser posible, se agrupen de la misma forma que cuando realizaron la actividad 1.

1) Ahora van a trabajar con una circunferencia trigonométrica. Abran el programa GeoGebra y sigan estos pasos:

• Habiliten la vista de los ejes y de la cuadrícula.
• Marquen el punto de intersección entre los ejes y llámenlo O.
• En el campo de entrada, escriban: A = (1,0), para marcar un punto A con esas coordenadas.
• Tracen una semirrecta de origen O que pase por A.
• Marquen un punto cualquiera sobre la semirrecta, llámenlo P (comprueben que pueden deslizarlo sobre la semirrecta) y píntenlo de rojo.
• Tracen una circunferencia de centro O y radio 1.
• Para determinar los distintos valores que toma la abscisa del punto P cuando este se mueve, en el campo de entrada, escriban: x(P).
• Llámenlo AnguloEnRadianes.
• Ahora van a hacer que el punto A rote sobre la circunferencia en sentido antihorario según el ángulo en radianes. Para ello, usen la herramienta que se muestra a continuación.

Señalen el punto A (objeto a rotar), luego el punto O (centro de rotación) y por último, en la ventana que se abre, escriban:

Verán que aparece un punto A’ sobre la circunferencia. Comprueben que a medida que mueven P, el punto A’ va girando. Píntenlo de un color que se destaque.

• Tracen el ángulo AOA’, y dejen que muestre su nombre α, pero no su valor. En Propiedades, elijan este tipo de decoración para indicar que el ángulo aumenta en sentido antihorario:

• Tracen el segmento OA’ y píntenlo del mismo color que el ángulo α.
• Cambien la escala del eje x, de modo que muestre los valores como fracciones de π. Para ello, señalen el eje x y, en Propiedades, establezcan estas condiciones:

• Inserten un texto que muestre la medida del ángulo α en radianes y en grados. Para ello, escriban esto (pueden copiar y pegar):

“α = ” + AnguloEnRadianes + ” radianes = ” + (AnguloEnRadianes 180 / π) + “º”

2) Ya tienen todo listo. Muevan el punto P, observen qué va sucediendo, y respondan estas preguntas en el procesador de textos.

a) ¿Cuántos radianes mide α cuando P coincide con el punto A?

b) Respondan con fracciones de π: ¿cuántos radianes mide un ángulo de 90º? ¿Y uno de 180º? ¿Y uno de 270º?

c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de 2π radianes?

d) ¿Cuántos radianes le faltan a un ángulo de 2 radianes para ser llano?

e) ¿Y a un ángulo de 5 radianes para ser de un giro?

f) ¿Cuántos grados mide un ángulo de (5π/2) radianes?

g) ¿Cuántos radianes mide un ángulo de 630º? Exprésenlo con un número real y mediante una fracción de π.

h) ¿Por qué en el último ítem del punto 1, para mostrar la medida del ángulo en grados cuando está expresado en radianes, usaron esta fórmula:

AnguloEnRadianes • 180º / π?

i) ¿Qué fórmula usarían para obtener la medida de un ángulo en radianes cuando está expresado en grados?

j) ¿Cómo expresarían en radianes estos ángulos: 30º, 45º, 120º, 135º, 210º, 225º, 300º, 330º? Usen fracciones de π.

k) ¿Es cierto que el lado terminal de los ángulos de 90º y (9π/2) radianes coinciden? ¿Qué diferencia hay entre el mayor y el menor? Exprésenlo en función de π. ¿Cuántos giros representan esa diferencia?

l) Adrián afirma que si expresa un ángulo cualquiera en radianes y le suma 2 • k • π, donde k es un número entero, el ángulo que resulte poseerá un lado terminal que coincida con el del ángulo original. ¿Es cierto? ¿Por qué?

3) Guarden el archivo de GeoGebra y el del procesador de textos con el nombre “Grados y radianes 2”.