Funciones tangente y cotangente
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Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática: Tangente y cotangente
Nivel: Secundario, ciclo orientado (escuelas técnicas)
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta secuencia se abordarán los siguientes temas: interpretación de los segmentos que representan la tangente y la cotangente de un ángulo, en la circunferencia trigonométrica; interpretación y construcción de los gráficos de las funciones tangente y cotangente, y utilización del programa GeoGebra. Para poder abordar esta secuencia, es necesario que se haya trabajado previamente con la secuencia “Funciones seno y coseno” (ver secuencia “Funciones seno y coseno”).
Objetivos de las actividades
Promover el uso de programas graficadores
Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares.
Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Objetivos pedagógicos
Actividad 1:
Vean este video junto con sus alumnos. En él se explica cómo Eratóstenes midió el diámetro terrestre. Luego discutan cómo se puede deducir que el ángulo al que se hace referencia mide unos 7º, cuando la sombra que proyecta el palo de 1 m es de 12 cm.
Pídanles a sus alumnos que se reúnan de a dos o de a tres para discutir ideas, aunque cada integrante trabajará con su equipo portátil. Para realizar esta actividad, usarán el programa GeoGebra y el procesador de textos (para responder las preguntas que se formulan). Es necesario que los alumnos tengan los dos programas abiertos.
Consignas para los alumnos :
Para trabajar con la función tangente, abran el archivo de GeoGebra que guardaron con el nombre ‘Circunferencia trigonométrica’ cuando realizaron la actividad 1 de la secuencia “Funciones seno y coseno ” (ver secuencia “Funciones seno y coseno”).
1) Hagan que el punto A sea visible y tracen una recta perpendicular al eje x que pase por A.
2) Tracen una recta que pase por O y por A’.
3) Marquen la intersección de las dos rectas que trazaron y llamen H a ese punto.
4) Tracen el polígono OAH y hagan que no se vean los rótulos de sus lados.
5) Hagan que α sea un ángulo del primer cuadrante.
6) En el campo de entrada, ingresen Q = (x (A’), 0).
7) Tracen el polígono OQA’ y hagan que no se vean los rótulos de sus lados.
8) Como pueden ver, los triángulos que trazaron son semejantes y se cumple que
A’Q/OQ = HA/OA.
9) Utilizando el procesador de textos, respondan las siguientes preguntas:
a) ¿Qué representa el segmento A’Q? ¿Y el segmento OQ? ¿Cuánto mide el segmento OA? Entonces, ¿qué lado del triángulo OAH representa la tangente de α?
10) Marquen ese segmento y llámenlo Tg α. Destáquenlo con algún color que les guste.
11) Inserten un texto que muestre el valor de Tg α. Para ello, escriban esto:
“Tg α =” + (y(H))
12) Pinten el texto con el mismo color que el segmento que marcaron.
13) En el campo de entrada, ingresen un punto T cuya abscisa sea la del punto P y su ordenada, la del punto H. Píntenlo de algún color que se destaque bien y activen su rastro.
14) Tracen el segmento TH y, en Propiedades, elijan este estilo:
15) Hagan que el triángulo OQA’ y el punto Q no sean visibles.
16) Muevan el punto P: ¿qué ocurre?, ¿qué función queda representada?
17) Para comprobarlo, en el campo de entrada, ingresen: f(x) = tan(x). Vuelvan a mover el punto P, y respondan en algún procesador de textos:
b) ¿Por qué, para que se vaya trazando esa curva al mover el punto P, las coordenadas del punto T son las que se indicaron?
18) Observen el gráfico que queda marcado y respondan:
c) ¿En qué cuadrantes Tg α toma valores positivos?
d) ¿Cuáles son las raíces de la función?
e) ¿Cuál es el período de la función?
f) ¿Tiene máximo la función? ¿Y mínimo?
19) En el campo de entrada, escriban: x = π/2. Pinten esa recta con algún color que se destaque y que no hayan usado, y elijan un estilo de trazo de línea punteada.
g) ¿Qué sucede con la función cuando α = π/2?
h) ¿La recta que trazaron con línea punteada es una asíntota?
i) ¿Para qué otros valores del dominio podrían trazar una asíntota?
20) Guarden el archivo de GeoGebra y el del procesador de textos con el nombre “Función tangente”.
Actividad 2:
Agrupados de a dos o de a tres, van a trabajar de manera similar, pero ahora con la función cotangente.
1) Abran el archivo de GeoGebra que guardaron con el nombre “Circunferencia trigonométrica”.
2) En el campo de entrada, ingresen el punto B = (0,1) y tracen por B una recta perpendicular al eje y.
3) Tracen la recta que pasa por O y A’, y marquen el punto de intersección con la recta anterior. Llámenlo C.
4) Hagan que las dos rectas que trazaron no sean visibles.
5) Tracen el polígono OBC y hagan que no se vean los rótulos de sus lados.
6) En el campo de entrada, ingresen el punto (x(A’), 0).
7) Tracen el polígono OA’Q y hagan que no se muestren los rótulos de sus lados.
8) Como pueden ver, los triángulos que trazaron son semejantes y se cumple que:
BC/BO = OQ/A’Q.
Entonces, ¿qué lado del triángulo OBC representa la cotangente de α?
9) Marquen ese segmento y llámenlo Cotg α. Destáquenlo con algún color que les guste y aumenten su grosor.
10) Inserten un texto que muestre el valor de la Cotg α. Para ello, escriban esto:
“Cotg α =” + (x(C)).
11) Pinten el texto con el mismo color que el segmento que marcaron.
12) En el campo de entrada, ingresen un punto Z cuya abscisa sea la del punto P, y su ordenada, la abscisa del punto C. Píntenlo de algún color que se destaque bien y activen su rastro.
13) Tracen el segmento ZP y hagan que tenga el mismo color y grosor que el segmento Cotg α.
14) Hagan que el triángulo OQA’ y los puntos Q y A no sean visibles.
15) Muevan el punto P: ¿qué ocurre?, ¿qué función queda representada?
16) Para comprobarlo, en el campo de entrada, ingresen: g(x) = cos(x) / sin(x). Vuelvan a mover el punto P y respondan en el procesador de textos la siguiente pregunta:
a) ¿Por qué, para que se vaya trazando esa curva al mover el punto P, las coordenadas del punto Z son las que se indicaron?
17) Observen el gráfico que queda marcado y respondan estas preguntas:
b) ¿En qué cuadrantes la Cotg α toma valores positivos?
c) ¿Cuáles son las raíces de la función?
d) ¿Cuál es el período de la función?
e) ¿Qué sucede con la función cuando α = π?
18) Tracen alguna asíntota de la función.
19) ¿Para qué otros valores del dominio podrían trazar una asíntota?
20) Guarden el archivo de GeoGebra y el del procesador de textos con el nombre “Función cotangente”.