Función exponencial, parte I

	`Autora: María Laura Latorre` `Responsable disciplinar: Sebastián Vera` `Área disciplinar: Matemática` `Temática: Función exponencial` `Nivel: Secundario, ciclo orientado` `Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar`

Propósitos generales

Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades

En esta secuencia se abordarán los siguientes temas: comportamiento de la función exponencial y análisis de la función a partir de la variación de parámetros: base, multiplicación de la potencia por una constante; multiplicación del exponente por una constante (actividad 2).

Antes de comenzar con las actividades, puede ser muy motivador para los alumnos ver el “Capítulo 4”, de Alterados por Pi, del canal Encuentro en el que Adrián Paenza hace una explicación muy sencilla sobre el crecimiento exponencial.

Objetivos de las actividades

Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares.

Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Requisitos previos para realizar las actividades

conocer las propiedades de la potenciación de números reales con exponente racional, y tener ideas básicas sobre el uso del programa GeoGebra.

Actividad 1

Para que los alumnos comiencen a pensar en las potencias, se les puede proponer que usen el programa GeoGebra para graficar una sucesión de potencias de base 2 y exponente entero, y que después grafiquen la función exponencial de base 2.

Para los alumnos
1) Trabajen con ejes y cuadrícula. 2) Ingresen potencias de 2, con exponentes enteros que varíen desde -1 hasta 5. 3) Ajusten la escala para ver mejor los puntos.	1) En el Menú Editar hagan clic en 2) En la barra de Entrada, escriban: secuencia [(n, 2 ^ n), n, -1, 5], y pulsen Enter. 3) Hagan clic derecho sobre una zona libre de la Vista Gráfica y en el Eje X: Eje Y, tilden 1:5.

Para los alumnos

1) Trabajen con ejes y cuadrícula.

2) Ingresen potencias de 2, con exponentes enteros que varíen desde -1 hasta 5.

3) Ajusten la escala para ver mejor los puntos.

1) En el Menú Editar hagan clic en

2) En la barra de Entrada, escriban: secuencia [(n, 2 ^ n), n, -1, 5], y pulsen Enter.

3) Hagan clic derecho sobre una zona libre de la Vista Gráfica y en el Eje X: Eje Y, tilden 1:5.

Con lo realizado, o el agregado de más puntos, podrán visualizar el comportamiento de la sucesión de potencias: sus valores siempre positivos, su crecimiento permanente y la rapidez con la que se elevan los puntos a medida de que crecen los exponentes. Para confirmar la tendencia observada, se puede proponer que ingresen la función exponencial de base 2 (2 ^ x) y reparen que, ahora, el exponente puede ser cualquier número racional () o irracional ().

Para los alumnos
Ingresen la función exponencial de base 2. Busquen la imagen de un valor irracional para leer el valor de la potencia con una determinada cantidad de cifras decimales.	En la barra Entrada escriban: f(x) = 2 ^ x En la barra Entrada escriban: (, f()). Con el puntero sobre el punto anterior, hagan clic derecho y después clic en Propiedades. En Muestra rótulo, indiquen el valor.

Para los alumnos

Ingresen la función exponencial de base 2.

Busquen la imagen de un valor irracional para leer el valor de la potencia con una determinada cantidad de cifras decimales.

En la barra Entrada escriban: f(x) = 2 ^ x

En la barra Entrada escriban: (, f()).

Con el puntero sobre el punto anterior, hagan clic derecho y después clic en Propiedades. En Muestra rótulo, indiquen el valor.

Actividad 2

Se propone que los alumnos utilicen el programa GeoGebra para analizar algunos parámetros que caracterizan la función exponencial. Se pretende que, además de estudiar el objeto matemático en sí mismo, puedan adquirir herramientas para interpretar y manejar un modelo matemático, que permita representar una cantidad muy importante de fenómenos.

Los alumnos podrán utilizar el archivo que figura en el siguiente link, haciendo las modificaciones que quieran o necesiten: Geogebra: exponencial, parámetros.

Para los alumnos
Analicen las funciones f₁ (con c = 1 y k = 1). 1) ¿Hay imágenes negativas? 2) ¿Es cierto que f₁(x) puede ser nula? 3) ¿A qué valores tienden las imágenes cuando x tiende a más infinito y a menos infinito? 4) ¿Tienen asíntota?	Hagan clic en la casilla de control: f₁ y muevan el deslizador a₁. (Si movieron los deslizadores c y k, pónganlos en 1).
Para responder las preguntas anteriores, puede ser útil que trabajen con el zoom.	Hagan clic en el botón Zoom de Acercamiento, coloquen el puntero en el punto (-6, 0) de la Vista Gráfica y hagan clic dos o tres veces.
5) Marquen el punto A como se indica a la derecha, e indiquen qué particularidad presenta.	En la barra de Entrada, escriban: A = (0, f_1(0)). Con el puntero sobre el punto, hagan clic derecho y clic en Propiedades. En Muestra rótulo, indiquen el valor.
Para chequear las respuestas anteriores, activen el rastro como se indica a la derecha.	Hagan clic derecho sobre la función f₁ y clic en Activar Rastro. Muevan el deslizador y vean la figura que queda marcada. Para desactivar el rastro, vuelvan a hacer clic en Activar Rastro. Borren el rastro haciendo Control + F.
6) ¿Cuál es el conjunto imagen? Visualícenlo moviendo el punto B de f1.	Hagan clic en el botón Nuevo Punto y clic en un punto del gráfico de f₁. Si no marcaron otros puntos, GeoGebra lo llamará B. En la barra de Entrada, escriban: C = (0, y(B)). Coloquen el puntero en el punto C y hagan clic en Activar rastro. Muevan el punto B sobre f₁ y visualicen el conjunto de puntos que quedan marcados. Desactiven el rastro de C. Borren el rastro haciendo Control + F.
Analicen las funciones f₂ (con c = 1 y k = 1) respondiendo las preguntas anteriores.	Realicen con f₂ todos los pasos que efectuaron con f₁.
Comprueben que los gráficos de las funciones que tienen bases inversas son simétricos respecto del Eje y. Después, respondan: 7) Si f₁(x) = a^x y f₂(x) = (1/a)^x; ¿cómo son f₁(x) y f₂(-x)?	En los deslizadores, pongan: a₁ = 4 y a₂ = 0,25. Con el botón Nuevo Punto, marquen un punto de f₁. Hagan clic en el botón Reflejar Punto en Recta, clic en el punto marcado anteriormente y clic en el Eje y. Hagan lo mismo con otros puntos y vean cómo son sus ordenadas.
Analicen las funciones f₁ y f₂ cuando se multiplica la potencia por una constante. 8) ¿Cómo son las imágenes si c > 0? ¿Qué ocurre si c < 0?	En los deslizadores pongan: a₁ = 2 y a₂ = 0,5. Si se movió k, pónganlo en 1. Muevan el deslizador c y observen para qué valores de c, los gráficos se mantienen por encima del Eje x. Modifiquen los valores a₁ y a_2, y vuelvan a mover c.
Analicen las funciones f₁ y f₂(con c = 1) cuando se multiplica el exponente por una constante positiva. 9) ¿A qué semiejes se acercan o se alejan los gráficos de las funciones f₁ de base 2, a medida que k crece? Respondan la misma pregunta para las funciones f₂ de base 0,5.	En los deslizadores pongan: a₁ = 2, a₂ = 0,5 y c = 1. Marquen los puntos (1, f_1(1)) y (-1, f_1(-1)) de f₁; activen su rastro y muevan el deslizador k. Vean qué ocurre con los puntos de f₂
Analicen las funciones f₁ y f₂ (con c = 1) cuando k < 0. 10) ¿Los gráficos de f₁ y f₂ se mantienen por encima del Eje x cuando k es negativo? 11) ¿La función f₁ sigue siendo creciente cuando k es negativo? ¿La función f₂ sigue siendo decreciente con k negativo?	Con el puntero sobre el deslizador k, hagan clic derecho y clic en Propiedades. En Deslizador, Intervalo, escriban -10 en Mín y cierren. En los deslizadores pongan: a₁ = 2, a₂ = 0,5 y c = 1. Muevan el deslizador k.

Para los alumnos

Analicen las funciones f₁ (con c = 1 y k = 1).

1) ¿Hay imágenes negativas?

2) ¿Es cierto que f₁(x) puede ser nula?

3) ¿A qué valores tienden las imágenes cuando x tiende a más infinito y a menos infinito?

4) ¿Tienen asíntota?

Hagan clic en la casilla de control:

f₁ y muevan el deslizador a₁. (Si movieron los deslizadores c y k, pónganlos en 1).

Para responder las preguntas anteriores, puede ser útil que trabajen con el zoom.

Hagan clic en el botón Zoom de Acercamiento, coloquen el puntero en el punto (-6, 0) de la Vista Gráfica y hagan clic dos o tres veces.

5) Marquen el punto A como se indica a la derecha, e indiquen qué particularidad presenta.

En la barra de Entrada, escriban:

A = (0, f_1(0)).

Con el puntero sobre el punto, hagan clic derecho y clic en Propiedades. En Muestra rótulo, indiquen el valor.

Para chequear las respuestas anteriores, activen el rastro como se indica a la derecha.

Hagan clic derecho sobre la función f₁ y clic en Activar Rastro. Muevan el deslizador y vean la figura que queda marcada. Para desactivar el rastro, vuelvan a hacer clic en Activar Rastro.

Borren el rastro haciendo Control + F.

6) ¿Cuál es el conjunto imagen?

Visualícenlo moviendo el punto B de f1.

Hagan clic en el botón Nuevo Punto y clic en un punto del gráfico de f₁. Si no marcaron otros puntos, GeoGebra lo llamará B.

En la barra de Entrada, escriban:

C = (0, y(B)).

Coloquen el puntero en el punto C y hagan clic en Activar rastro.

Muevan el punto B sobre f₁ y visualicen el conjunto de puntos que quedan marcados.

Desactiven el rastro de C.

Borren el rastro haciendo Control + F.

Analicen las funciones f₂ (con c = 1 y k = 1) respondiendo las preguntas anteriores.

Realicen con f₂ todos los pasos que efectuaron con f₁.

Comprueben que los gráficos de las funciones que tienen bases inversas son simétricos respecto del Eje y. Después, respondan:

7) Si f₁(x) = a^x y f₂(x) = (1/a)^x; ¿cómo son f₁(x) y f₂(-x)?

En los deslizadores, pongan:

a₁ = 4 y a₂ = 0,25.

Con el botón Nuevo Punto, marquen un punto de f₁.

Hagan clic en el botón Reflejar Punto en Recta, clic en el punto marcado anteriormente y clic en el Eje y.

Hagan lo mismo con otros puntos y vean cómo son sus ordenadas.

Analicen las funciones f₁ y f₂ cuando se multiplica la potencia por una constante.

8) ¿Cómo son las imágenes si c > 0? ¿Qué ocurre si c < 0?

En los deslizadores pongan:

a₁ = 2 y a₂ = 0,5. Si se movió k, pónganlo en 1.

Muevan el deslizador c y observen para qué valores de c, los gráficos se mantienen por encima del Eje x. Modifiquen los valores a₁ y a_2, y vuelvan a mover c.

Analicen las funciones f₁ y f₂(con c = 1) cuando se multiplica el exponente por una constante positiva.

9) ¿A qué semiejes se acercan o se alejan los gráficos de las funciones f₁ de base 2, a medida que k crece? Respondan la misma pregunta para las funciones f₂ de base 0,5.

En los deslizadores pongan:

a₁ = 2, a₂ = 0,5 y c = 1.

Marquen los puntos (1, f_1(1)) y (-1, f_1(-1)) de f₁; activen su rastro y muevan el deslizador k.

Vean qué ocurre con los puntos de f₂

Analicen las funciones f₁ y f₂ (con c = 1) cuando k < 0.

10) ¿Los gráficos de f₁ y f₂ se mantienen por encima del Eje x cuando k es negativo?

11) ¿La función f₁ sigue siendo creciente cuando k es negativo? ¿La función f₂ sigue siendo decreciente con k negativo?

Con el puntero sobre el deslizador k, hagan clic derecho y clic en Propiedades. En Deslizador, Intervalo, escriban -10 en Mín y cierren.

En los deslizadores pongan:

a₁ = 2, a₂ = 0,5 y c = 1.

Muevan el deslizador k.

Actividad de cierre

Como cierre, se propone una pequeña autoevaluación (también puede hacerse de a dos).

Geogebra: Mini pruebita

Sitios de interés y de utilidad para el trabajo

Explicación de las propiedades de la función exponencial e información sobre algunas aplicaciones

Breve explicación de la función exponencial y estudio de la función logística