Función cuadrática, parte I
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Autores: Laura Spivak y Pablo J. Kaczor
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática: Función cuadrática
Nivel: Secundario, ciclo orientado
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta secuencia, se abordarán los siguientes temas: interpretación de los coeficientes que intervienen en la fórmula polinómica de una función cuadrática; interpretación de los parámetros que intervienen en la fórmula de una función cuadrática dada en forma canónica y el uso del programa graficador GeoGebra.
Objetivos de las actividades
Promover la discusión y el intercambio de diversas estrategias entre pares.
Promover el trabajo colaborativo, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Actividad 1
Los ítems señalados con letras (a, b, c, etc.) son las preguntas que los alumnos deberán responder en el procesador de textos.
Pídanles a sus alumnos que se reúnan de a dos para discutir ideas, aunque cada integrante trabajará con su equipo portátil (si el número de alumnos es impar, puede haber un grupo de tres).
Coméntenles que para realizar la actividad deben utilizar el programa graficador GeoGebra y el procesador de textos –para responder las preguntas que se formulan–, y que es necesario que tengan los dos programas abiertos. La idea es que trabajen con el programa graficador y que vayan contestando las preguntas en el procesador de textos a medida que avanzan, de modo que al finalizar la actividad ya tengan todo respondido.
1) Abran el programa graficador y el procesador de textos.
2) Estudien cómo se modifica el gráfico de una función cuadrática al variar los coeficientes de su fórmula escrita en forma polinómica:
f(x) = a x2 + b x + c
Para ello utilicen la herramienta 
, llamada deslizador. Esta herramienta permite modificar el valor de un número. Coloquen tres deslizadores llamados a, b y c, respectivamente. Hagan que varíen, por ejemplo, desde –5 hasta 5.
3) Escriban la fórmula de la función f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c, en el campo de entrada. Inmediatamente aparecerá el gráfico que corresponde a los valores de a, b y c que figuran en los deslizadores. Hagan que se vea la fórmula de la función junto al gráfico. Para ello, en la pestaña Básico / Propiedades, activen Muestra Objeto y Muestra Rótulo con la opción Nombre y Valor, como se muestra a continuación.
En la misma ventana hagan clic en la pestaña Color y elijan uno de su agrado para el gráfico de la función. Si hacen clic en la pestaña Estilo podrán modificar el grosor y el estilo del trazo.
4) Hagan clic en Vista y activen Ejes, Cuadrícula y Vista Algebraica.
5) Ahora hagan que aparezca el eje de simetría de la parábola. Para ello, escriban en el campo de entrada la ecuación de la recta x = -b / (2 * a). Luego cámbienle el nombre (llámenla Eje) y elijan un color y un estilo de línea punteada que les guste. En este momento, ya están en condiciones de analizar qué papel juegan los coeficientes a, b y c.
6) Pongan en uno los tres deslizadores.
7) Muevan el punto sobre el deslizador de a sin tocar los otros dos deslizadores; observen qué ocurre con el gráfico y respondan.
Utilizando el procesador de textos, disponible en sus equipos portátiles, respondan:
a) ¿Qué sucede a medida que el valor de a crece en valor absoluto?
b) ¿Cómo se relaciona el signo de a con la forma del gráfico?
8) Muevan el punto sobre el deslizador de b sin tocar los otros dos deslizadores; observen y respondan:
c) ¿Qué sucede al variar el valor de b?
9) Muevan el punto sobre el deslizador de c sin tocar los otros dos; observen y respondan:
d) ¿Qué ocurre al variar el valor de c ?
Cierre de la actividad
1) Coloquen los deslizadores de forma tal que el gráfico de la función cumpla estas tres condiciones:
las ramas van hacia abajo;
corta ambos ejes en 3;
su eje de simetría es -1,25.
2) Guarden el archivo de GeoGebra con el nombre “Cierre actividad 1”, y el del procesador de textos como “Respuestas actividad 1”.
Actividad 2
Los ítems señalados con letras (a, b, c, etc.) son las preguntas que los alumnos deberán responder en el procesador de textos.
1) Abran el programa graficador GeoGebra y el procesador de textos, disponibles en sus equipos portátiles.
2) Van a estudiar cómo se modifica el gráfico de una función cuadrática al variar los parámetros de su fórmula escrita de la forma:
f(x) = a (x – b)2 + c
Para ello, van a utilizar deslizadores. Coloquen tres deslizadores llamados a, b y c, respectivamente. Hagan que varíen, por ejemplo, desde –5 hasta 5.
3) Escriban la fórmula de la función f(x) = a * (x - b) ^ 2 + c, en el campo de entrada. Hagan que se vea la fórmula de la función junto al gráfico y elijan un color que les guste.
4) Activen Ejes, Cuadrícula y Vista Algebraica.
5) Pongan en uno los tres deslizadores.
6) Muevan el punto sobre el deslizador de a sin tocar los otros dos deslizadores, observen qué ocurre con el gráfico y respondan:
a) ¿Qué sucede a medida que el valor de a crece en valor absoluto?
b) ¿Cómo se relaciona el signo de a con la forma del gráfico?
7) Muevan el punto sobre el deslizador de b sin tocar los otros dos deslizadores; observen y respondan:
c) ¿Qué sucede al variar el valor de b ?
8) Muevan el punto sobre el deslizador de c sin tocar los otros dos; observen y respondan:
d) ¿Qué ocurre al variar el valor de c?
e) ¿Cuál es la ecuación del eje de simetría de la parábola?
f) ¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice de la parábola con los parámetros a, b y c?
9) Para comprobar si respondieron correctamente las preguntas e y f, escriban en el campo de entrada la ecuación del eje de simetría que propusieron.
10) Renombren esa recta (llámenla Eje), elijan un color y un trazo con línea punteada.
11) Usen la herramienta 
para marcar el punto de intersección entre la parábola y la recta Eje.
12) Renombren ese punto (llámenlo V), elijan un color que lo destaque y hagan que muestre su nombre y su valor.
13) Muevan el punto del deslizador a. ¿Se modifican las coordenadas del vértice?
14) Muevan el punto del deslizador b. ¿Con qué coordenada del vértice se relaciona? ¿Y si mueve el punto del deslizador c?
g) ¿Qué nombre recibe la forma en que está escrita la fórmula de la función?
Cierre de la actividad
1) Coloquen los deslizadores de manera que el gráfico de la función cumpla estas dos condiciones:
su vértice es el punto (-3, 4);
corta el eje de las ordenadas en -14.
2) Guarden el archivo de GeoGebra con el nombre “Cierre actividad 2”, y el del procesador de textos como “Respuestas actividad 2”.