Introducción a las funciones homográficas
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Autor: Rodrigo Weber
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática:
estudio de funciones homográficas. Dominio e imagen de la función.
Obtención de las fórmulas de las asíntotas horizontales y verticales
Nivel: Secundario, ciclo orientado
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En estas actividades se pretende explorar la función homográfica desde varios puntos, desde su expresión general y sus aplicaciones hasta por problemas relacionados con la vida cotidiana y, además, analizar su gráfica utilizando el programa Geogebra.
Objetivos de las actividades
Que los alumnos:
Reconozcan por distintas vías los usos de la función homográfica.
Analicen analítica y gráficamente la función homográfica.
Interpreten situaciones problemáticas vinculadas a la función homográfica.
Utilicen funciones para modelizar fenómenos del mundo real.
Objetivos pedagógicos
Actividad 1
1) Analicen la siguiente situación:
Juan Alberto Fatiga inauguro un local de colchones de muy buena calidad, y para tener un control de las ventas, le pidió a un amigo matemático y economista que le confeccione una fórmula matemática que le sirva para poder estimar la demanda de colchones que podría tener por mes. Es decir, para saber cuántos colchones podría vender en función de su precio. La fórmula es:
D = Demanda de colchones
p = Precio de un colchón
D (p) = 100 - 2
1 + p
a) Utilizando el programa Geogebra, grafiquen la función D(p).
b) ¿Cuál es el dominio de esta función?
c) Observen el gráfico: ¿qué pasa con el sentido económico de la demanda de colchones Juan Alberto? Discutan junto con el docente sobre la validez que tendría el grafico en la vida real. ¿Qué condiciones deberían tener en cuenta para que el grafico se corresponda con nuestro problema?
d) La función D(p) corresponde a un tipo de funciones denominadas homográficas o racionales. Para saber más sobre ellas visiten el siguiente link.
e) A partir de lo visto en el link anterior, expliquen con sus palabras qué es una función homográfica y cuál es su expresión general.
f) Si observamos el gráfico realizado en el ítem a, ¿qué pasa con el precio del producto? ¿Y con la cantidad de artículos que se venden?
g) ¿Qué sucede cuando el precio es igual a 49?
h) ¿Cuál debe ser el dominio de nuestra función para que coincida con la función de demanda D(p)? Grafiquen con Geogebra.
Actividad 2
1) ¿Cómo se relacionan el desempleo y los salarios?
Cuando se quiere entender fenómenos tan complejos como las relaciones económicas en una sociedad, muchas veces se recurre a la ayuda de la matemática para crear un modelo teórico que refleje de alguna manera la realidad. Un trabajo de investigación realizado en 1958 por el economista neocelandés A. W. H. Phillips (1914-1975) encontró una relación entre el desempleo y los sueldos, y a su vez propuso una función matemática para explicar este proceso:
-1,4 x + 8,2
y= 
x
Donde Y es el porcentaje de aumento o reducción del sueldo y x es la tasa de desempleo.
a) Utilizando el programa Geogebra, instalado en sus equipos portátiles, realicen un gráfico con de la función anterior.
b) A partir del gráfico realizado, discutan junto con el docente las siguientes cuestiones:
¿Qué ocurriría si el desempleo fuera nulo?
¿Qué significa que la tasa de variación de los salarios sea negativa?
¿Cuál es la interpretación de la asíntota horizontal de la función?
¿Tiene sentido que el valor de x sea negativo?
c) Los coeficientes de esta función racional varían con las características de cada país. Suponiendo que el nuestro sea:
Y = -2 + 6/x
Utilizando el programa Geogebra, realicen el gráfico de la función.
¿Cuál es la asíntota horizontal?
¿Cuál es la tasa natural de desempleo?
Actividad de cierre
1) En una sodería llamada Sodomax están tratando de minimizar los tiempos de producción, y observaron que uno de los grifos con un caudal de 15 litros por minuto tardó 16 horas en llenar un depósito. Por lo tanto, la idea es tratar de averiguar cuánto habría tardado si el caudal hubiera sido mayor o menor, es decir, si los litros de líquido superan los 15 litros o son inferiores a ellos.
a) Si el caudal es mayor, ¿tardará más o menos en llenar el depósito?
b) Con los datos del problema, hallen el volumen del depósito.
c) Hallen una expresión que permita calcular el tiempo que demorará en llenarse el depósito con cualquier caudal que se nos ocurra.
d) Utilizando el programa Geogebra, realicen un gráfico con la expresión hallada en el ítem c.
e) Averigüen cuánto habría tardado si el caudal hubiera sido de 10, 20, 25 o 30 litros.
2) En grupos de tres o cuatro alumnos, investiguen en diferentes páginas de Internet sobre la aplicación de funciones homográficas en diferentes áreas de las Ciencias exactas (Física, Biología, Química, entre otras). Con la información obtenida, elaboren una presentación en Impress.
Para comenzar la investigación, pueden visitar estos sitios:
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
Función de proporcionalidad inversa
Proporcionalidad, regla de tres simple y compuesta
Ley de Ohm y dependencia de la resistencia con las dimensiones del conductor