Divisibilidad y factores de un polinomio

Autores: Sebastián Vera, Javier Peña Responsable disciplinar: Sebastián Vera Área disciplinar: Matemática Temática: Divisibilidad entre polinomios. Factores de un polinomio. Teorema de Ruffini y teorema del resto Nivel: Secundario, ciclo orientado Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar

Propósitos generales

Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.

Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

Introducción a las actividades

En esta secuencia trabajaremos sobre la división entre polinomios y la obtención de factores también entre polinomios. En la primera actividad se propone que los alumnos retomen el algoritmo de la división para encontrar otras formas de escritura de algunos polinomios y reconozcan que un polinomio se puede escribir como producto de otros de menor grado. En la segunda actividad se busca formalizar el concepto de factorización de polinomios mediante la división exacta. En la actividad de cierre los alumnos trabajarán con el Teorema de Ruffini y el Teorema del Resto.

Objetivos de las actividades

Reconocer las relaciones involucradas entre los polinomios que intervienen en el algoritmo tradicional de división.

Abordar la noción de expresión polinómica equivalente.

Abordar las posibilidades de expresión de un polinomio como producto de otros.

Aplicar y analizar el Teorema de Ruffini y el Teorema del Resto para analizar diferentes situaciones.

Objetivos pedagógicos

Actividad 1

La división es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). Por ejemplo: si queremos resolver 10 : 3, aplicando el algoritmo de la división tenemos:

Este algoritmo nos permite expresar el número 10 de la siguiente forma: 10 = 3 • 3 + 1

1) Realicen las siguientes divisiones y escriban el dividendo aplicando el algoritmo de la división:

a) 15 : 4 =

b) 100 : 31 =

c) 120 : 4 =

d) 1280 : 2 =


2) El algoritmo de la división se puede aplicar cuando tenemos que dividir dos polinomios. Completen el siguiente cuadro dividiendo los polinomios que figuran en el mismo:

Polinomio dividendo

P(X)

Polinomio divisor

C(X)

Polinomio cociente

Q(X)

Polinomio resto

R(X)

x2 - 1

x + 1

x3 - 2x + 1

x3

x4 -3x + 2

x - 1

3) Utilizando el algoritmo de división, escriban de otra forma los polinomios de la primera columna (polinomios dividendos). Empleen las calculadoras científicas instaladas en sus equipos portátiles para realizar los cálculos.

4) Completen el siguiente cuadro. Coloquen en los espacios en blanco los polinomios correspondientes:

Polinomio dividendo

Polinomio divisor

Polinomio cociente

Polinomio resto

x2 - 4x + 3

x - 3

0

x2 - 2

x2 + 2 

5

x2 - x

X

-3

5) ¿Que relación observan entre el grado del polinomio dividendo y el grado de los demás polinomios?

6) ¿En qué casos fue posible escribir al polinomio como producto de otros dos? ¿Qué relación peden observar con lo realizado en el ítem 1?

7) Investiguen en Internet o en otras fuentes especializadas qué significa “factores de un polinomio”. Una vez leída la información, relaciónenla con lo obtenido en el ítem anterior.

Actividad 2

1) Indiquen si cada afirmación es verdadera o falsa y justifiquen su respuesta.

a) (x - 1) es un factor de (x3 + 2x - 3).

b) (x4 + 3x2 - 4) se escribe como producto de (x + 1) por algún otro polinomio.

c) (x2 + 3x - 1) es factor de  (x3 + 3x2 - x).

d) El resto de dividir (x4 - 16) por (x - 2) es cero.

2) Relacionen los polinomios de la columna izquierda con los de la columna de derecha, de modo que estos resulten factores de los primeros. Justifiquen su elección.



2) ¿Existe un polinomio k(x) tal que: 6x6 - 9x4 + 10x2 - 15 = k(x) (2x2 - 3)?

3) Completen con otro polinomio la línea punteada de manera que se cumpla la siguiente igualdad para todo valor de x:

2x3 - 18x2 + x - 9 = (2x2 + 1) ________________

¿Se podrá utilizar otro polinomio en vez del elegido? Comparen sus resultados con los demás compañeros.

4) Discutan junto con el docente sobre las ventajas y aplicaciones de expresar un polinomio como producto de dos o más polinomios.

Actividad de cierre

En la división de polinomios el divisor puede ser un binomio de primer grado de la forma (x - a) o (x + a). Siendo a un número entero, por ejemplo (x+3) o (x - 3); (x+5) o (x - 5); (x +100) o (x-100) etc. Cuando tenemos este tipo de divisores, la división puede hacerse de la misma forma que lo hicieron en las actividades anteriores o aplicando el Teorema de Ruffini.

1) Ingresen a los siguientes links para comprender cómo funciona este método:


Regla de Ruffini


Regla de Ruffini, en vitutor


2) Luego de visitar los links, realicen la siguiente actividad: dividan los polinomios presentados a continuación aplicando el Teorema de Ruffini y verifiquen los resultados utilizando el algoritmo de división.


a) (x3 - 5x - 1) : (x - 3) =

b) (x6 - 1) : (x + 1) =

c) (x4 - 2x3 + x2 + x - 1) : (x - 1) =

3) Para cada una de las divisiones anteriores, observen qué sucede si reemplazan la variable x de cada uno de los polinomios dividendos por el número que anula al polinomio divisor. Por ejemplo, el número que anula al polinomio divisor (x - 3) es 3, porque si reemplazamos la x por el número 3 obtendremos el siguiente polinomio: (3 - 3) = 0.

Comparen los resultados obtenidos con los restos que obtuvieron al aplicar el Teorema de Ruffini.


4) El ejercicio realizado en el ítem 3 es la aplicación del Teorema del Resto. Este teorema les permite averiguar el resto de la división de un polinomio P(x) entre otro de la forma x - a o x + a sin necesidad de efectuar la  división.

Ingresen a los siguientes links para profundizar sobre la aplicación de este teorema y discutan lo analizado junto con su  docente:

Teorema del Resto

Formas de factorizar un polinomio

Enlaces de interés y utilidad para el trabajo

Expresiones algebraicas


Definición y ejemplos de polinomios


Teorema del resto


Algoritmo de la división


Regla de Ruffini


Teorema del Resto


Webgrafía recomendada

División (matemática), en Wikipedia


Raíces de polinomios


Matemática polimodal


Regla de Ruffini