Derivada segunda de una función
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Autores: Rodrigo Weber
y Javier Peña Responsable
disciplinar: Sebastián Vera Área
disciplinar: Matemática Temática:
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, derivada segunda,
puntos de inflexión Nivel:
Secundario, ciclo orientado Secuencia
didáctica elaborada por Educ.ar |
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta sección trabajaremos con el concepto de derivada segunda y el análisis completo de funciones, dentro del marco de la resolución de problemas y de la modelización de situaciones reales relacionadas a la matemática.
Objetivo de las actividades
Que los alumnos:
Analicen y comprendan el concepto de la derivada segunda.
Analicen situaciones y resuelvan problemas para comprender la utilidad de la derivada segunda de una función.
Interpreten la noción de derivadas y el estudio completo de una función, ya sea analítica como gráficamente por medio de ejercicios de aplicación.
Objetivos pedagógicos
Actividad 1
Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f’ (cuyo dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f). La noción de derivabilidad puede aplicarse a la función f’, y da lugar a otra función f’’ cuyo dominio consiste en todos los puntos x tales que f’ es derivable en x. A esto se le da el nombre de derivada segunda, y su notación es f’’.
1) Visiten los siguientes links para comprender y profundizar más sobre el tema:
Derivada - Wikipedia, la enciclopedia libre
Derivadas, aplicaciones, optimización
a) A partir de lo visto en los links anteriores, encuentren la derivada primera y derivada segunda de las siguientes funciones.
f (x) = 2x2 - x + 1
f (x) = x3 + 2x2 - x + 1
f (x) = (x + 1)2
x2 + 1
- f (x)= (x - 2)3
c) Utilizando el programa Geogebra instalado en sus equipos portátiles grafiquen cada función y sus derivadas primera y segunda, en un mismo sistema de ejes cartesianos.
d) Analicen y clasifiquen los intervalos de crecimiento y decrecimiento, mínimos, máximos y ceros de cada función del punto anterior.
Actividad 2
- 1) Analicen y resuelvan las siguientes situaciones problemáticas:
a) Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x) = -0,002x2 + 0,8x - 5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte una cierta cantidad x. Entonces, respondan las siguientes preguntas, sabiendo que disponemos de $500 para invertir
- b) ¿Cuándo aumenta y cuándo disminuye la rentabilidad?
- c) ¿Cuánto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible?
- d) ¿Cuál será el valor de dicha rentabilidad?
- 2) ex, donde x es el tiempo en horas y v(x) es la velocidad en cientos de kilómetros. Hallen:
- a) ¿En qué momento del intervalo circula a la velocidad máxima y calculen dicha velocidad?
- b) ¿En qué períodos ganó velocidad y en cuáles redujo? ¿Se detuvo alguna vez?
- 3) La cantidad de agua recogida durante 2002 (en millones de litros), en un pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión:
Respondan:
a) ¿En qué período de tiempo aumentó la cantidad de agua recogida?
b) ¿En qué instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c) ¿Cuál fue esa cantidad máxima?
Actividad de cierre
La aplicación de la primera y de la segunda derivada son de gran utilidad para el análisis completo de las funciones en general, y ayudan a obtener un gráfico exacto de dicha función, con máximos, mínimos, crecimiento, decrecimiento, ceros, etcétera.
1) Visiten los siguientes links para comprender cómo se aplica este análisis:
Criterio de la segunda derivada
a) A partir de lo visto en las páginas anteriores, analicen por completo las siguientes funciones:
a) f (x) = x2 - 5x + 7
x - 2
b) f (x) = - 2x2 - 3x + 1
c) f (x) = x4 - 2x2
d) f (x) =; x + 4
x - 2
2) Hallen:
a) Dominio y puntos de cortes con los ejes coordenados.
b) Asíntotas (si es que existen)
c) Primera y segunda derivada.
d) Puntos críticos.
e) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
f) Valores extremos.
g) Concavidad.
h) Puntos de inflexión.
i) Gráfico de la función (utilizando Geogebra).
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
Funciones en varias Variables y diferenciación
Derivadas primera y segunda de una función