Derivada de funciones compuestas y regla de la cadena
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Autor: Rodrigo Weber
Responsable disciplinar: Sebastián Vera
Área disciplinar: Matemática
Temática: Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Nivel: Secundario, ciclo orientado
Secuencia didáctica elaborada por Educ.ar
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
En esta sección analizaremos cómo se derivan las funciones compuestas. En las actividades los alumnos aplicarán la regla de la cadena para derivar diferentes funciones compuestas. También podrán trabajar con algunas aplicaciones de las derivadas compuestas, al resolver situaciones de la vida real.
Objetivos de las actividades
Que los alumnos:
Comprendan la regla de la cadena para derivar funciones compuestas.
Analicen y comprendan por medio de problemas matemáticos las derivadas compuestas.
Investiguen en distintas páginas de Internet para comprender el concepto de la regla de la cadena.
Actividad 1
1) Una bebida se saca de la heladera a una temperatura de 8 ºC, y se deja en una habitación en la que temperatura es de 22 ºC.
Según la ley de enfriamiento de Newton (calentamiento sería en este caso el término apropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo con la expresión:
T (t) = 25 – A . e-k.t con A y k constantes y el t medido en minutos.
Para determinar la expresión anterior es necesario comprender cómo se deriva una función compuesta; para ello aplicaremos lo que se conoce como regla de la cadena.
2) Ingresen en los siguientes links, en los cuales se analizan cómo se aplica esta regla para derivar funciones compuestas:
3) A partir de lo observado, respondan las siguientes preguntas:
a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 ºC, calculen el valor de las constantes A y k.
b) Utilicen el programa GeoGebra para realizar un gráfico de la función T (t); para t ≥ 0 .Y encuentren la expresión de la rapidez instantánea de calentamiento de la bebida.
c) Encuentren el instante en que esa rapidez es máxima y el instante en que es la mitad de la máxima.
d) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora?
e) Expliquen con sus palabras para qué sirve la regla de la cadena. Intenten explicar cómo se aplicó esta regla para determinar la velocidad de cambio de temperatura en la bebida.
f) Escriban dos o tres ejemplos de funciones compuestas y hallen sus derivadas aplicando la regla de la cadena. Junto con el docente y sus compañeros, discutan los ejemplos propuestos.
Actividad 2
1) Calculen la derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena:
a) f (x) = ln (x2 + 3x + 1)
b) f (x) = ln (sen (3x2 + 3))
c) f (x) = e-(5x + 1)
d) f (x) = cos (2x3 – 5)
e) f (x) = 1 / ln (x + 1)
f) f (x) = ln ((x - 1) / (x + 1))
2) Hallen la derivada de cada función y evalúenla cuando x = 0
a) f (x) = e (x + 1)
b) f (x) = sen (cos (3x4 + 8))
c) f (x) = ln (3x2 + 9 / 5x – 5)
d) f (x) = e sen (2x + 7)
Actividad de cierre
Problemas de aplicación:
1) Una empresa textil produce tejidos de algodón. El costo de fabricación (en miles de pesos) depende de la cantidad de tela fabricada (metros cuadrados) según la siguiente función: C (x) = 20.000 + 20 .ln (1 + 0,5x), donde C es el costo de fabricación, que depende de la cantidad de tela fabricada, y x representa la cantidad de tela en metros cuadrados.
a) Calculen la derivada de la función de C (x) y su valor en: x = 20.000 m2, 40.000 m2, 60.000 m2 para observar cómo varía su costo a medida que se produce más tela.
(Nota: en economía, se llama función de costos marginales a la derivada de la función de costos).
b) Si la empresa produce 20.000 m2 de tela, ¿cuánto le costaría producir un m2 adicional? Comparen este resultado con el valor del costo marginal para x = 20.000.
2) La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función: V (t) = ln (4x2 – 16).
Donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comenzó el estudio (t = 0).
a) Indiquen los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece o decrece.
Enlaces de interés y utilidad para el trabajo
11 - Derivadas: Regla de la cadena
La derivada y sus aplicaciones