Movimiento de los planetas. Modelado numérico
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Autor: Hernán Ferrari Responsable
disciplinar: Silvia Blaustein Área
disciplinar: Física Temática: Fuerza
gravitatoria. Distintos tipos de movimientos planetarios.
Movimiento en dos dimensiones Nivel:
Secundario, ciclo básico Secuencia didáctica
elaborada por Educ.ar |
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Propósitos generales
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta, la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.
Introducción a las actividades
La fuerza
gravitatoria es una fuerza atractiva que aparece entre todo par de
cuerpos con una masa dada. A través de observaciones se pudo concluir
que cuanto mayor es la masa de los cuerpos, mayor es la fuerza de
atracción entre ellos, y que cuanto menor es la distancia entre los
cuerpos, mayor es la fuerza. Newton descubrió este principio
fundamental de la Física y lo expresó en su ley de la gravitación
universal: «Todos los cuerpos del universo se atraen mutuamente con
una
fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa»:
,
donde el valor de G, la constante
de gravitación universal, está dado por 6.67 10-11
m3/ (kg s2). Esta fuerza
atractiva aparece en la dirección de la recta de acción que determinan
ambos cuerpos.
Si
se considera una de las masas fija en el espacio (aquella a la que le
corresponda una masa mucho mayor que la otra) y se toma allí el origen
del sistema de referencia, la fuerza de atracción que aparecerá en la
otra masa que orbite alrededor de la primera estará siempre apuntando a
la masa fija en el origen (a esta fuerza que apunta siempre a un punto
fijo se la llama fuerza central, como es el caso de la fuerza en un
movimiento circular uniforme o la tensión en un péndulo). Al igual que
en los casos mencionados, la fuerza gravitatoria tendrá el módulo
mencionado arriba y estará en la dirección 
Por su parte, la distancia entre ambos cuerpos queda determinada por el módulo del vector que marca la posición del cuerpo del que se quiere describir su movimiento. Por esto la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo será:
Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matemáticamente el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol.
Primera ley (1609): todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.
Segunda ley (1609): el radio vector que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Así, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio).
Tercera ley (1618): para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor al de su órbita elíptica.
=
constante
donde T es el período orbital (tiempo
que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) y 
la
distancia media del planeta
con el Sol.
Objetivos de las actividades
Que los alumnos:
- analicen el movimiento de un cuerpo bajo la acción de la fuerza gravitatoria;
- resuelvan los distintos tipos de movimientos planetarios (leyes de Kepler).
Actividad 1
En el caso particular de una órbita circular, la fuerza gravitatoria será siempre solo centrípeta y su módulo, como en el caso del movimiento circular, será igual al módulo de la velocidad al cuadrado dividido por el radio de la órbita. De esta forma, el radio de la órbita determina el módulo de la velocidad, dado que la aceleración está dada por la ley de gravitación:
con
lo
cual el módulo de la velocidad será
y
constante,
como tiene que ser en un movimiento circular uniforme.
1. Tomando la masa del Sol igual a 1.99 1030 kg y considerando a Venus con una masa de 4,874 1024 kg, girando en una órbita circular a una distancia del Sol de 108 millones de kilómetros. (Para el caso circular, la velocidad inicial es perpendicular a la fuerza gravitatoria. No impongan la condición de módulo de la velocidad constante. Eso debe salir del modelado).
a) Resuelvan el problema numéricamente.
b) Grafiquen las coordenadas x e y en función del tiempo.
c) Grafiquen la coordenada y en función de la coordinada x (este gráfico corresponde a la órbita de Venus con Sol en el centro del sistema de referencia).
d) Calculen el período del movimiento (cuánto tiempo tarda en dar una vuelta alrededor del Sol). Piensen que Venus está más cerca del Sol, por lo que su período será menor a un año.
e) ¿El problema depende de la masa del planeta?
f) Confirmen que el módulo de la velocidad permanece constante.
g) Verifiquen la segunda y la tercera ley de Kepler. Utilicen un acumulador para calcular el área que barre el vector posición en el caso de la segunda ley de Kepler, realizando en cada paso el producto entre el módulo del vector posición y la variación del tiempo sobre dos (considerando esa área como el área de un triángulo con lados el módulo del vector posición y base, la variación del tiempo).
h) En el procesador de textos de sus equipos portátiles, elaboren un informe detallado de todos los pasos realizados en esta actividad. Incluyan los programas utilizados y los gráficos que realizaron.
Descargar el archivo generado con el programa Scilab que aparece a continuación.
Actividad 2
1. Consideren el problema anterior pero ahora con una velocidad inicial que no sea perpendicular a la trayectoria.
a) Resuelvan el problema numéricamente.
b) Grafiquen las coordenadas x e y en función del tiempo.
c) Grafiquen la coordenada y en función de la coordinada x.
d) ¿Qué tipo de órbita tiene ahora el planeta?
e) Verifiquen la segunda y la tercera ley de Kepler. Utilicen un acumulador para calcular el área que barre el vector posición en la segunda ley de Kepler, realizando en cada paso el producto entre el módulo del vector posición y la variación del tiempo sobre dos (considerando esa área como el área de un triángulo con lados el módulo del vector posición y base, la variación del tiempo).
f) En el procesador de textos de sus equipos portátiles, elaboren un informe detallado de todos los pasos realizados en esta actividad. Incluyan los programas utilizados y los gráficos que realizaron.
Descargar archivo generado con el programa Scilab que aparece a continuación.